Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Trufanova, Situn Differ_v_zadachah_i_prikladah.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
920.51 Кб
Скачать

Т.В. Труфанова, А.Е. Ситун

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть II. Уравнения n-го порядка

Министерство образования Российской Федерации

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет математики и информатики

Т.В. Труфанова, А.Е. Ситун

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть II. Уравнения n-го порядка

Благовещенск

ББК 22.161.6я73

Печатается по решению

Т80

редакционно-издательского совета

 

факультета математики и информатики

 

Амурского государственного

 

университета

Т.В. Труфанова, А.Е. Ситун

Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Часть II. Уравнения n-го порядка. Учебно-методическое пособие. Благовещенск:

Амурский гос. ун-т, 2001.

Пособие содержит краткие теоретические сведения по общему курсу «Дифференциальные уравнения». Подробно рассматриваются методы решения основных типов дифференциальных уравнений n-го порядка. Студентам предлагаются варианты самостоятельной работы по данной теме. Материал пособия позволяет выработать практические навыки в решении и исследовании дифференциальных уравнений.

Пособие предназначено для студентов специальностей 010100 – математика, 010200 – прикладная математика, 010400 – физика.

Рецензент: А.И. Родионов, доцент кафедры ТМ и СМ НГТУ, канд. физ.-мат. наук.

Амурский государственный университет, 2001

дифференциального уравнения (2) называется за- y(x) , удовлетворяющего заданным начальным ус-
Задачей Коши для дача отыскания решения ловиям:
Аналогично определяется решение уравнения (1).
обращает уравнение (2) в тождество х (a,b).
y(x)
(x, y(x), y'( x) ,..., y (n1) (x)) D, x
(a, b) ;
удовлетворяющая условиям:
1) y(x) непрерывно дифференцируема n раз на (a,b); 2)
3)
Решением уравнения (2) на интервале (a,b) называется функция
где функция f также предполагается непрерывной в некоторой области D R n+ 1 изменения своих аргументов.
y (n)
= f (x, y, y' , y' ' ,..., y( n1) ) = 0 ,
y(x) ,
(2)

§1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

F (x, y, y', y'',..., y(n) )= 0 ,

(1)

где х – независимая переменная, у – искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области G R n+ 2 (n ≥ 1) .

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y(x0 ) = y0 , y'(x0 ) = y'0 ,…, y(n1) (x0 ) = y0

(n1) ,

(3)

где x0 (a,b) , y0 , y'0 ,…, y0

(n1) – заданные числа.

 

 

Теорема Пеано. Если функция f непрерывна в области D, то для любой точки (x0 , y0 , y'0 ,...y0 (n1) ) D существует решение уравнения (2), определенное в некоторой окрестности точки x0 (a, b) и удовлетворяющее условиям (3).

Существование и единственность решения задачи Коши определяется следующей теоремой.

3

Аналогично вводится понятие частного интеграла.

Теорема Коши – Пикара. Если функция f непрерывна в области D и

имеет непрерывные частные производные

f

,

f

,...,

f

, то для любой точ-

 

y'

y (n1)

 

y

 

 

ки (x0 , y0 , y'0 ,...y0 (n1) ) D существует единственное решение уравнение (2), определенное в некоторой окрестности точки x0 (a, b) и удовлетворяющее условиям (3).

Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функция y = ϕ (x, c1,..., cn) , которая при любых допустимых значениях параметров

c1 , c2 ,..., cn является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (3) найдутся постоянные c1 , c2 ,..., cn , определяемые из системы уравнений:

 

y0 =

ϕ

(x0c1,c2 ,...,cn )

 

 

y'0 =

ϕ

'(x0 c1,c2 ,...,cn )

 

....

 

 

 

 

 

 

(n1)

 

(n1)

(x0 c1,c2 ,...,cn ) .

 

 

= ϕ

 

 

y0

 

 

 

Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

Φ (x, y,c1,c2 ,...,cn ) = 0 ,

(4)

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Частным решением уравнения (1) или (2) называется любое решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значе-

ниях c1,c2 ,...,cn .

Если y(x) – решение уравнения (1), то график функции y = y(x) называется интегральной кривой уравнения (1).

Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящие от n параметров

c1,c2 ,...,cn .

Функция φ (x) называется особым решением дифференциального уравнения (1), если:

1) φ (x) обращает дифференциальное уравнение (1) в тождество;

2) для любой

точки

x0 (a, b) задача Коши с начальными условиями

y(x0 ) = φ ( x0) , y('

x)0 = φ('

x)0 ,..., y(n1) (x0 ) = φ (n1) (x0 ) имеет более одного решения.

4

§ 2. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ

2.1 Уравнение вида

 

F (x, y(n) ) = 0 ,

(5)

которое содержит только производную n-го порядка искомой функции и независимую переменную.

 

Запишем уравнение (5) в параметрической форме

x = ϕ

 

(t) ,

 

y(n)

= φ (t) ,

где

ϕ (t) – дифференцируемая функция. Общий интеграл уравнения (5)

найдется в параметрической форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем dy (n1) =

y( n)

dx , dy(n1)

= φ (t) ϕ '(t)dt , откуда y(n1) =

ϕ

(t) φ

(t) dt + c1

=

φ 1( t,c1) .

 

Аналогично находим y (n

2)

 

 

и т.д. Система

x =

ϕ

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является

общим интегралом уравнения (5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

φ

n (t, c1 , c2 ,..., cn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти общее решение уравнения y' ' ' =

 

 

1

x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Введем

параметр

t,

 

 

 

 

положив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

sin t t

 

 

 

 

,

 

 

 

 

,

тогда

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

y' ' ' =

 

cos t

 

= cos t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данное уравнение в параметрической форме имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

sin t,

y'''= cost .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проинтегрируем полученное выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

tdt , y' ' =

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

 

, y' ' =

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

dy' ' =

y' ' ' dx = cos

 

 

 

 

 

tdt +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

+

 

 

 

sin 2t +

 

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy' = y' ' dx =

 

 

 

t

+

 

 

 

 

sin 2t

+

 

c1 cos tdt ,

y' =

 

 

 

 

t cos t

+

 

 

sin 2t cos t +

c1

cos t dt +

 

 

,

2

 

 

2

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y' =

 

 

 

t sin t +

cos t

 

 

 

 

cos

 

 

 

t

+

 

c1

sin t +

c2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy =

 

 

y' dx =

 

 

 

t sin t +

cos t

 

 

 

 

 

cos

 

 

t

+

 

c1

 

 

sin t + c2

 

cos tdt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

t sin 2t +

cos

 

t

 

 

cos

 

 

 

t

+

 

 

 

 

c1

sin 2t + c2

cos t dt +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

3

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

t cos 2t

+

 

 

t +

 

 

 

 

sin 2t

 

 

 

 

 

sin 4t

 

 

 

 

c1 cos 2t + c2 sin t +

 

c3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

8

24

 

 

96

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Общее решение в параметрической форме записывается

 

 

 

 

 

 

 

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

sin t t

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

7

 

1

 

c1

 

c2

 

c3

 

 

y =

t cos 2t +

 

 

t +

sin 2t

sin 4t

cos 2t +

sin t +

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

16

48

192

8

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где C1,C2,C3 – произвольные постоянные.

Пример 2. Найти частное решение уравнения y' '2 x 2 = 1, y(0)=0,

y’(0)=1.

Решение. Решим задачу Коши. Для этого найдем общее решение заданного уравнения и, учитывая начальные условия, получим частное ре-

шение

уравнения. Введем параметр t, положив x = sh t, t R . Тогда

y' '2 = 1 +

sh2 t = ch2 t ,

 

y' '

 

= cht .

 

 

Запишем заданное уравнение в параметрической форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

sh t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y''=

ch t,

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch 2 tdt ,

 

 

ch 2 tdt +

c1 ,

dy'=

y''dx =

 

y'=

y'=

1

 

 

(1+ ch 2t)dt +

 

c1

=

1

t +

1

sh 2t + c1 ,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

dy = y'dx =

 

 

t +

 

 

 

sh 2t +

c1

ch t dt

2

4

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

t ch t +

 

 

 

sh 2t ch t +

 

c1 ch t dt + c2 ,

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

1

t. sh t

 

1

ch t +

 

1

ch3

t + c1 sh t + c2 .

 

2

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем общее решение уравнения в параметрической форме:

 

x =

sh t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

y =

t

.

sh t

ch t +

ch

3

t + c1 sh t + c2 .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая начальные условия, найдем C1 и C2. Если x=0, то sh t=0 или 12 (et et ) = 0 , откуда t0 = 0 . Подставляя в решение t=0, y(0)=0, y’(0)=1, по-

лучим c1 = 1, c2 = 13 . Запишем частное решение уравнения в параметрической форме:

 

x =

sh t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

y =

t

.

sh t

ch t +

ch

3

t + sh t +

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Выразим t через x. Имеем

 

1

(et

et )

= x , e2t

2xet

1 =

0 , откуда

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et = x +

x 2 + 1 , t = ln(x +

x 2 + 1), ch t =

x2 + 1 .

 

 

 

Частное решение уравнения записывается

 

 

 

 

 

 

 

y = 1 x ln(x +

x 2 + 1)1

x 2 +

1 + 1

(x 2 + 1)3 +

x +

1 .

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

3

 

 

2.2. Уравнения вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (n) =

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

(6)

Данное уравнение

рассматривается как частный случай уравнения (5),

где f(x) непрерывная функция на (a,b).

 

 

 

 

 

 

 

 

Если принять x =

x

(a, b) в качестве параметра, то общее решение уравне-

ния (6) получим в форме: y =

∫ ∫...f (x)dxdx...dx +

c1xn1 +

c2 xn2 +

... + cn1x + cn

Общее решение уравнения (6) в форме Коши имеет вид:

 

y = x x ...x

f (x)dxdx...dx +

 

y0

(n1)

(x

x0 ) n1 +

y0

(n2)

 

(x

x0 ) n

2 + ... +

y0 '(x x0 ) + y0 ,

 

(n 1)!

(n 2)!

x0 x0 x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x0 (a, b), y0 , y0 ',..., y0

(n1)

- любые числа.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти общее решение уравнения

y' ' =

1

.

cos 2 x

Решение. Интегрируя первый раз, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'=

tg x +

c1 .

 

 

 

 

 

Повторное интегрирование приводит к общему решению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

ln

 

cos x

 

+

c1 x + c2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Уравнения вида

F (y (n1) , y( n) ) = 0

Если данное уравнение разрешимо относительно y (n) , т.е. y (n) =

то, вводя новую функцию u =

y (n1) , приведем уравнение к виду

 

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:

x + c1 =

du

(

f (u)

 

или

∫ ∫ ...∫ φ (x,c1)dxdx...dx +

 

 

 

 

u = φ (x, c1) , y (n1) = φ (x, c1) , y =

c2 xn2 + ... + cn1x +

(7)

f (y( n1) ) , u'= f (u) .

f (u) 0)

cn .

n - 1

7

Если уравнение

(7)

 

имеет

 

параметрическое

 

представление

 

y (n)

= ϕ

(t) ,

y (n1) = φ (t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n1)

 

φ '(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

dy (

)

= y

 

dx

, dx =

 

 

 

 

=

 

 

 

dt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ ' (t)

 

 

 

 

y(n)

 

ϕ (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ(t, c1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда x =

 

dt +

c1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)φ '( t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

n1

 

φ (t)φ

'( t)

 

 

 

 

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

n

3

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

=

 

 

 

 

dt + c2 ,

 

 

 

 

Далее dy(

 

) = y(

) dx =

 

 

 

 

dt ,

 

 

 

 

 

ϕ (t)

dy(

 

) = y(

 

) dx ,

 

 

 

ϕ (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy =

 

 

 

 

y' dx +

 

 

η (t, c2 , c3,..., cn) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'dx ,

 

y =

cn =

 

 

 

 

 

 

 

Общий интеграл уравнения (7) записывается в параметрической форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= ξ(t,c1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= η (t,c2 ,c3 ,...,cn ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти общее решение уравнения y' ' ' y' ' =

1 +

y' '2 .

 

 

 

 

 

Решение. Пусть

y' ' =

u ,

тогда u' u =

1 +

u 2 ,

 

udu

= dx ,

1 +

u 2

=

x +

c1 ,

u = ± (x + c1) 2 1, или y' ' =

± (x +

c1) 2 1 .

 

 

 

 

 

 

1 + u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательным интегрированием находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y' = ±

 

1

(x + c1) (

x + c1)

2

1

1

ln x

+ c1 +

 

(x + c1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

1

((

 

 

 

 

)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+ 1)

2

3

(

 

+ 1)

 

 

 

+

 

1

+

(

 

+

1)

2

 

+

(

 

+

 

= ±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

6

 

x

c

 

 

 

 

1

 

 

2

 

x

c

ln x

 

c

 

 

x

 

c

 

 

1

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знак плюс соответствует общему решению для области

– для области y' ' <0 .

1

 

+

 

c2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1)

2

+ c2 x + c3 .

 

1

 

 

 

 

 

 

y' ' >0 , знак минус

 

Пример 5. Найти решение задачи Коши y' '2 y' =

1,

y(0) =

5

 

,

y'(0) = 1.

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Пусть y' =

u , тогда u'2u = 1,

 

 

du

 

=

dx ,

 

 

1

ln

 

1 + 2u

 

= x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ 2u

 

 

2

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

u =

c1e2 x

1

или y' = c1e2 x

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

y = 12 c1e2 x 12 x + c2 .

Учитывая начальные условия, определим c1 и c2 : c1 = 32 , c2 = 12 .

Частное решение уравнения запишется y = 34 e2 x 12 x + 12 .

8

2.4. Уравнения вида

F (y (n2) , y( n) ) = 0

(8)

С помощью замены y (n2) = u уравнение (8) приводится к уравнению второго порядка F (u, u' ' ) = 0 .

Если полученное уравнение разрешимо относительно функции u", то, учитывая замену, получаем промежуточный интеграл вида:

φ (x, y (n2) , c1 , c2 ) = 0 ,

т.е. дифференциальное уравнение (n-2) порядка, которое интегрируется в квадратурах.

Пример 6. Понизить порядок уравнения до первого порядка (решать уравнение не требуется) y' ' 'y' = 1.

Решение. С помощью замены y' = u приведем данное уравнение к уравнению второго порядка u' 'u = 1, u' ' = 1 + u .

Умножая на интегрирующий множитель =

2u' , приходим к уравнению

 

2u'u''= 2(1+ u)u' .

Интегрируя, получим первый интеграл уравнения

u'2 =

2(1+ u) 2

 

+ c1 , u'2 = (1+ u) 2 + c1 .

2

 

 

 

 

 

Откуда находим общий интеграл вспомогательного уравнения

u'= ± (1+ u) 2 + c1 , ±

du

 

= dx ,

x + c2 = ln1+ u + (1+ u) 2 + c1 .

 

(1+ u) 2

+ c1

 

Возвращаясь от переменной u к y' , получим уравнение первого порядка

x + c2 = ln1+ y'+ (1+ y') 2 + c1 .

§3. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Ниже приводятся некоторые виды

дифференциальных

уравнений

n-го порядка, допускающие понижение порядка.

 

3.1. Уравнения вида

 

 

F( x, y(k ) ,..., y(n) ) =

0 ,

(9)

т.е. уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно.

9

С помощью замены y(k) = p(x) , где p(x) , новая неизвестная функция, порядок уравнения понижается на k единиц: F (x, p, p',..., p(nk ) ) = 0 . Предположим, что для полученного уравнения мы можем найти общее решение p( x) = ϕ ( x,c1,c2 ,...,cnk ) .

Следовательно имеем промежуточный интеграл y(k ) = ϕ (x,c1,c2 ,...,cnk ) .

Общее решение уравнения (9) получается путем k-кратного интегрирования обеих частей полученного выражения.

Пример 1. Найти частное решение уравнения

x4 y'''+ 2x3 y'' = 1, y(1) = 12 , y'(1) = 12 , y''(1) = − 1.

Решение. Данное уравнение не содержит y и y’. Положим y''= p(x) ,

тогда y''' =

dp

 

и уравнение имеет вид

x4

dp

+

 

2x3 p = 1 или

 

dp

+

 

 

2

 

p =

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x

 

 

 

x4

 

 

Это линейное

уравнение

первого

 

порядка,

которое

 

решается заменой

p(x) = u(x)v(x),

p' =

u' v + uv' . Производя замену получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u'v + uv'+

 

 

 

uv

=

 

 

 

 

 

 

 

v

u'+

 

 

 

+ v'u =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

4

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда, с учетом возможности произвольного выбора функции u(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

+

 

2u

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая первое уравнение системы,

 

найдем функцию

 

u =

 

1

 

 

, из второго

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

 

уравнения – функцию v = −

1

+ c1 . Найдем функцию p =

 

uv ,

 

 

 

 

p =

1

+

.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, получим c1 =

 

 

 

 

 

 

x3

x 2

Используя начальное условие

y''(1) = p(1) =

0 .

Следова-

тельно, y'' =

1

, откуда y' =

 

 

 

1

+

 

c

2

 

. Начальное условие y'(1) =

 

1

 

 

позволяет

x3

 

 

2x2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найти c2 =

0 . Следовательно,

y' =

 

 

 

 

1

,

 

 

 

y

= −

1

+ c3 . Из условия y(1) = 1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

следует, что c3 = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, искомое частное решение есть

y =

1

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

3.2. Уравнения вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( y, y',..., y(n ) ) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

Уравнение (10) явно не содержит независимую переменную.

Подстановкой y' = p( y) , y''= p

dp

,

 

 

dp

2

2

d 2 p

 

2

 

2

 

и т.д. по-

 

y'''=

p

 

 

+ p

 

 

 

=

pp'

+ p

 

p''

 

 

 

 

2

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рядок уравнения понижается на единицу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти общее решение уравнения y' y'''

3y''2 = 0 .

Решение. Пусть y' =

p( y) ,

 

 

 

 

dp

,

 

 

 

dp

2

 

 

2 d 2 p

. Тогда уравне-

y'' =

p

 

 

y'' =

p

 

 

 

 

 

+

p

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

dy

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

dy

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

ние преобразуется к виду

 

 

 

 

 

d p

 

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

p

p

 

 

 

+

p

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

=

 

 

dy

 

 

dy2

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведя подобные члены и сократив на

p2

(при этом следует учесть те-

ряемое решение p=0, или y=c), получим:

 

d 2 p

 

dp

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

2

 

 

= 0 , pp''

2 p'

 

 

 

=

0 .

 

 

dy

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

d 2 p

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положив здесь

 

= z ,

 

= z

, приводим уравнение к виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy2

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pz

2z2 =

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

Сократив на z (при этом следует учесть еще одно решение z =

 

 

=

0

, т.е.

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

2dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p =

c1

и

y =

c1 x + c2 ),

получим

 

=

0 ,

откуда

ln

 

z

 

ln p2 = ln

 

c1

 

,

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

=

c p2 .

 

Интегрируя

последнее уравнение,

находим:

 

=

 

 

c y c

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

dx

=

c y +

c

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общий интеграл уравнения запишется x =

c1 y 2 +

c2 y + c3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вобщее решение входят потерянные ранее частные решения.

3.3.Уравнения вида

d

F (x, y, y',..., y(n1) ) =

0 ,

(11)

dx

 

 

 

т.е. уравнения, в которых левая часть может быть представлена как полная производная по x от некоторой функции F (x, y, y',..., y(n1) ) .

11

Интегрируя по x, получим новое уравнение, порядок которого на единицу ниже порядка исходного уравнения. Такие уравнения называются уравнениями в точных производных.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

(1+ x2 )y''+ 2xy' = x3 .

Решение. Левая часть уравнения есть полная производная по x от

функции (1+ x2 )y' , а правая – от функции

 

x4

, т.е. уравнение можно перепи-

4

сать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

((1+

2

) y′)′=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

c

x4 +

c

Отсюда интегрированием получаем (1+

 

x2 )y' =

 

 

+

1

или dy =

4(1+

x21)

dx .

 

4

4

Следовательно, y =

1

x3

 

1

x +

c1

arctg x

+

c2

есть общее решение уравнения.

 

4

4

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Уравнения вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x, y, y',..., y(n) ) =

0

 

 

 

 

(12)

Однородные относительно функции и ее производных, т.е. такие, что

F(x,λ y,λ y',...,λ y(n) ) = λ mF(x, y, y',..., y(n) ) , λ >0 однородности порядка m.

Подстановкой y' = yz порядок уравнения понижается на единицу, где z = z(x) – новая неизвестная функция.

Пример 4. Найти общее решение уравнения xyy''xy'2 yy' = 0 .

Решение. Проверим однородность уравнения. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x, y, y', y'')

= xyy''

xy'2

yy' ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x,λ y,λ y',λ y'') =

 

xλ yλ y''x(λ y')2 λ yλ y'=

λ 2( xyy''

xy'yy)'

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= λ 2 F (x, y, y', y'') ,

m=2.

 

 

Положим y' =

 

yz ,

тогда y'' = (yz)' = y' z + z' y =

yz2 +

yz' , или y'' =

y(z2 +

z'), и урав-

нение запишется xy2 (z2 + z')

xy 2 z2 y 2 z2

= 0 .

 

 

 

 

 

Сокращая на

 

y 2

(при этом теряется решение y=0), находим xz'− z = 0 или

 

dz

dx

= 0 , z =

 

c1x . Так как z =

 

y'

, то y' =

c1 xy ,

dy

= c1 xdx .

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 x2

 

 

 

 

 

 

y = c2 e c1

x 2

 

 

 

 

 

 

Откуда ln

 

y

 

=

 

+ ln

 

c2

 

или

 

2

 

– общее решение уравнения (со-

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

держит потерянное частное решение y=0, если c2 =

0 ).

 

 

12

3.5. Уравнения вида

 

F(x, y, y',..., y(n) ) = 0

(12-А)

обобщенно – однородное, если существуют числа k и m такие, что:

F (λ x,λ k y,λ k 1 y',...,λ k n y(n) ) = λ m F (x, y, y',..., y(n) ) .

С помощью замены x = et , y = zekt (при х>0, а при x<0 полагаем x = − et ), где t – новая независимая переменная, z = z(t) – новая искомая функция.

Уравнение (12-А) приводится к уравнению, не содержащему независимой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу.

Производные при замене преобразуются по формулам:

y' =

dy

e

t

=

 

dz

e

kt

+ kze

kt

 

t

=

(z '+ kz)e(

k 1 t

,

dt

 

 

dt

 

e

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy '

 

 

 

 

d

2 z

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

y'' =

 

 

et

=

 

 

 

 

 

+

(2k 1)

 

+

k(k

1)z e(k2)t

и т.д.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Найти общее решение уравнения x4 y''+ (xy'y)3 = 0 .

Решение. Положим F(x, y, y', y'') = x4 y''+ ( xy'

y) 3 .

Имеем

 

F (λ x,λ k y,λ k 1 y',λ k 2 y'') = λ 4λ k 2 x4 y''+ (λ xλ k 1 y'λ k y)3 =

λ k + 2 x4 y''+ λ 3k (xy'y)3 =

= λ 3 F (x, y, y', y'') (k=1),

 

откуда следует, что данное уравнение является обобщенно – однородным

(m=3, k=1 ).

Выполним замену x =

et ,

 

y =

zet . Тогда

 

 

Отсюда

 

 

 

 

y' = z'+ z , y'' = (z''+ z)et .

 

 

 

 

 

 

[et( z'+ z) zet ]3 = 0 , z''+ z'+ z'3 = 0 .

e4t (z''+ z)et +

Полученное уравнение явно не содержит независимой переменной t.

Пусть z' = p(z) , ( z'' = p

dp

). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

dp

+

p +

 

3

=

 

 

 

 

2

 

p

 

 

p

 

0 ,

p

 

 

+ 1+ p

= 0

,

dz

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда имеем два уравнения dp

+

1+

p2

= 0 и p =

0 .

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Из второго уравнения p =

 

0 следует z' =

0 ,

z =

c или y =

cx .

 

Из первого уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

= −

dz , arctg p =

 

c

 

z ,

p =

tg(c

z) .

 

1+ p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

Поэтому

 

 

tg(c1

 

z) , ctg(c1

z)dz =

 

 

 

 

 

 

z' =

 

 

dt ,

 

 

 

 

 

ctg(c1

z)dz =

t

 

ln c

(c >0) ,

 

 

 

sin(z

c )

 

ln

 

sin(z

c1)

 

=

 

t +

ln c ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

c

et

(

c

2

0

 

z

=

c

+ arcsin c

et

.

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

) ,

 

 

 

1

 

2

 

 

Учитывая замену y =

 

 

 

t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

zx ,

 

e

 

=

 

, находим y =

x c1 + arcsin

 

.

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если c1 = c , c2 = 0 , то имеем рассмотренное выше решение y = cx .

Замечание 1. В некоторых случаях найти решение дифференциального уравнения методом понижения порядка в виде явной или неявной функции затруднительно, однако удается получить решение в параметрической форме.

Пример 6 (к замечанию 1). Найти общее решение уравнения y' ' (1 + 2 ln y') = 1.

Решение. Пусть y' = t , y' ' = dxdt . Тогда уравнение примет вид

 

 

dt

(1 + 2 ln t) = 1, или dx = (1 +

2 ln t)dt ,

 

 

dx

 

 

 

t(1 + 2 ln t)dt ,

откуда x =

t + 2t ln t + c1 . Так как dy = tdx , то dy =

откуда y =

t 2 ln t + c2 .

 

 

Общее решение запишется в параметрической форме:

 

x = t(1+ 2ln t) + c1

 

y = t

2

ln t + c2 .

 

 

14

§4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнения вида

y(n) +

a (x) y(n1)

+

a

2

(x) y(n2)

+ ... + a

n1

(x) y'+ a ( x)

y =

f( x)

.

(13)

 

1

 

 

 

 

n

 

 

Здесь функции a1 (x), a2( x) ,..., an( x) , (f )x заданы и непрерывны на интервале

(a,b) .

Если f (x) 0 , то уравнение (13) называется линейным однородным, если f (x) 0 , то уравнение (13) называется линейным неоднородным,

или линейным уравнением с правой частью.

Краткая

запись линейного

неоднородного

уравнения (13) имеет вид

L( y) = f(

x) , где L – линейный дифференциальный оператор n-го порядка, т.е.

 

L( y) =

y (n) + a1 (x) y(n1) + ... +

an (x) y ,

определенный на множестве n раз непрерывно дифференцируемых на (a, b)

функций.

Краткая запись линейного однородного уравнения соответственно имеет вид L( y) = 0 .

4.1. Решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка методом понижения порядка уравнения.

Зная одно частное решение y1 (x) линейного однородного уравнения, можно с помощью замены искомой функции y(x) = y1( x) z( x) dx понизить

его порядок, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения (13) на единицу. Полученное уравнение (n-1)-го порядка относительно z также является линейным.

 

Пример 1.

Дано уравнение y'''+

2

y''y'+

1

y =

x и известно частное

 

 

x ln x

 

 

 

y1 =

ln x

 

x

 

 

 

 

решение

соответствующего

однородного

 

уравнения:

y'''+

2

y''y'+

1

 

y = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понизить порядок уравнения.

ln xzdx , где z

 

 

 

 

Решение. Выполним замену y =

– новая неизвестная

функция. Тогда,

подставляя соответствующие производные y' =

1

zdx + z ln x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

15

y'' = −

1

zdx +

2z

+

z'ln x , y''' =

2

zdx

3z

+

 

3z'

+ z''ln x

в данное уравнение, по-

x2

x

x3

x2

 

 

x

 

лучим:

 

 

 

 

3

+ 2ln x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x .

 

 

 

 

 

z''ln x +

 

 

 

 

z'+

 

 

 

 

 

ln x z =

 

 

 

 

 

 

 

x

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Порядок линейного неоднородного уравнения понижен на единицу.

 

Пример 2.

 

Найти общее

 

 

решение

уравнения

y''+

2

y'+ y

= 0 , если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

известно его частное решение y1

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Выполним замену y =

 

 

zdx , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y' =

x cos x sin x

zdx +

 

 

sin x

z

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y''=

 

sin x

z'+

 

2(xcos x sin x)

z

 

(x2

2)sin x +

2xcos x

zdx .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем уравнение

z'sin x +

2z cos x =

0 ,

 

 

решая которое

 

найдем

 

функцию

 

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

sin x

 

 

c dx

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

cos x

 

 

Следовательно,

y =

 

=

(c2

c1 ctg x) = c2

c1

 

.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

sin

2 x

 

 

x

 

x

 

 

x

 

 

Общее решение уравнения:

y =

c2

sin x

c1

 

cos x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид

y(n) + a1 (x) y(n1) + a2 (x) y(n2) + ... + an1 (x) y'+ an( x) y = 0

(14)

или L( y) = 0 .

 

Общее решение линейного однородного уравнения (14) записывается

y = c1 y1 (x) + c2 y2( x) + ... + cn yn( x) ,

 

где c1 ,c2 ,...,cn – произвольные постоянные, а y1 (x), y2( x) ,..., yn( x)

– фундамен-

тальная система частных решений уравнения (14).

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

y''+ a1 (x) y'+ a2( x) y = 0

16

y2 (x)

общее решение имеет вид:

y = c1 y1 (x) + c2 y2( x) ,

где y1 (x) и y2 (x) – два линейно независимых решения (фундаментальная система).

Если для такого уравнения известно одно частное решение y1 (x) , то второе его частное решение линейно независимое с первым, можно

найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остроградского

e− ∫ a1 ( x) dx

y2 (x) = y1( x) y12 (x) dx .

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 ( x) dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = c1 y1 + c2 y1

e

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2 (x)

 

 

 

 

 

и называется формулой Абеля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти общее решение уравнения (1

x2 )y''

2xy'+ 2 y =

0 .

Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это уравне-

ние имеет частное решение y1 =

 

 

x . Найдем общее решение с помощью

формулы Абеля, заметив, что a

(x) =

 

 

2x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

dx

 

 

 

eln

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

2

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

y =

x

 

 

x

 

 

dx =

x

 

x

 

 

dx

=

x

 

 

 

x

 

1x

 

 

 

= x

 

±

 

x

 

 

+

2(1x)

+

2(1+ x)

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±

1

 

+

1

 

 

 

 

1+

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

1−

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение имеет вид: y =

c1 x +

 

 

c2

 

 

 

 

x ln

 

 

 

 

 

±

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§6. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнения вида:

y(n) + a1 y( n1) + a2 y( n2) + ... + an y = 0 ,

(15)

где a1 ,a2 ,...,an – некоторые действительные числа.

17

Для нахождения частных решений составляют характеристическое уравнение

k n + a1k n1 + ... + an1k + an = 0 ,

(16)

которое получается из уравнения (15), если искать частные решения этого

уравнения в виде y = ekx (метод подбора решений).

Уравнение (16) является уравнением n-й степени и имеет n корней действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.

Частные решения уравнения (15) зависят от вида корней характеристического уравнения (16), и при их нахождении полезно использовать следующую табл. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

Характер корня характеристического

 

 

Частные решения

 

 

 

 

 

 

уравнения (16)

 

 

 

уравнения (15)

 

 

 

 

1) k – простой вещественный

 

 

 

 

 

ekx

 

 

 

 

 

 

 

 

корень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) k – вещественный корень

 

 

e kx , xe kx , x 2 e kx ,..., x r

1 e kx

 

 

 

 

 

кратности r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

α

± β i

– комплексно сопряженные

 

 

e α x cos

β

x , e α x

sin β

x

 

 

 

 

 

корни

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eα

x cos β

x ,

 

 

x (r 1)eα

 

 

 

 

4)

α

± β i

– комплексно сопряженные

 

 

xe α

x cos

β

x,...,

x cos

β x

 

 

 

 

корни кратности r

 

eα

x sin β x,

 

 

x (r 1)eα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe α

x sin

β

x,...,

x sin β

x

 

 

 

Общее решение уравнения (15) записывается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = c1 y1 + c2 y2 + ... +

cn1 yn1 + cn yn ,

 

 

 

 

 

 

где

y1 , y2 ,..., yn n частных линейно независимых решений,

образующих

фундаментальную систему, а c1 ,c2 ,...,cn – произвольные постоянные.

 

 

 

 

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y'''

y''+ 4 y'4 y = 0 .

 

 

 

 

Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.

 

k3 k2 + 4k 4 = 0 , k 2 (k 1) + 4( k 1) = 0,

(k 2 +

4)(k 1) = 0 ,

k1 =

1,

k2,3

= ± 2i .

 

 

Все корни простые, следовательно, согласно табл. 1 соответствующие частные решения запишутся: y1 = ex , y2 = cos2x, y3 = sin 2x .

Общее решение имеет вид: y = c1ex + c2 cos 2x + c3 sin 3x .

18

Пример 2. Найти общее решение уравнения

yV + 9 y''' =

0 .

 

Решение. Напишем характеристическое уравнение

k 5 + 9k 3

= 0 , где

k1 = 0 корень кратности r =

3 ,

k2,3

=

± 3i .

 

 

 

 

 

 

Частные решения:

y1 = e0 x

= 1 ,

y2

=

x ,

y3 = x2 , y4 =

cos3x ,

y5

=

sin 3x .

 

Общее решение:

y = c1 + c2 x +

c3 x2 +

c4 cos3x + c5 sin 3x .

 

 

 

 

Пример 3. Найти частное решение уравнения y'''

3y''+

3y'y =

0 , удов-

летворяющее начальным условиям y(0) = 1, y'( 0) = 2, y'(' 0) =

3 .

 

 

 

Решение. Характеристическое

уравнение

k 3 3k 2 +

3k 1 = 0

имеет

единственный корень k=1 кратности r=3, поэтому частные решения запишутся y1 = ex , y2 = xex , y3 = x2 ex . Следовательно, y = (c1 + c2 x + c3 x2 )ex – общее решение уравнения.

Для определения произвольных постоянных найдем производные

y'= (c1 + c2 x + c3 x2 )ex + (c2 + 2c3 x)ex , y''= (c1 + c2 x + c3 x2 )ex + 2(c2 + 2c3 x)ex + 2c3ex .

Подставляя начальные условия, получим систему уравнений:

c1

=

1

 

 

 

 

c1

+

c2

=

2

 

 

 

 

c

+

c

2

+

2c

= 3.

 

1

 

 

 

3

 

Откуда c1 = 1,c2

= 1,c3 = 0 . Следовательно искомое частное решение имеет вид

 

 

 

 

 

 

y =

(1+

x)ex .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти общее решение уравнения

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yVI 4 yV + 8IV

8 y III

+ 4 yII =

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Составим характеристическое уравнение

 

 

 

 

 

и найдем его корни.

 

k6 4k5 + 8k4 8k3 + 4k2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, k2 (k2

2k + 2)2 = 0.

Имеем k2 (k4

4k3 +

8k2

8k + 4) =

0 ,

k2 (k4 +

4k2 +

4 4k3 +

4k2 8k)=

Откуда k1 = k2

=

0, k3 = k4

= 1+ i, k5 =

k6

= 1 i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные решение имеют вид:

1, x,

ex cos x, ex sin x,

xex cos x,

 

xex sin x .

 

Общее решение запишется:

y =

c1 +

c2 x +

ex (c3 cos x +

c4 sin x +

c5 xcos x +

c6 xsin x) .

Пример 5. Найти общее решение уравнения

yV +

2 y =

0 .

 

 

Решение.

Корни характеристического уравнения k 5 +

2 = 0

находим по

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

5

2 = 5 2(cosπ+

isinπ) =

5

 

cos

π+ 2 πk

+ i sin

π+ 2 π k

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

5

,

 

при k = 0,1,2,3,4

 

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]