Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Trufanova, Situn Differ_v_zadachah_i_prikladah.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

920.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

k	= 5 2		cos π +			isin			π		,		k	2		= 5		2		cos 3π +						isin		3π			,	k	3		= 5		2(cosπ+			isinπ) ,
1				5					5					2									5						5				3
				5					5														5						5
				k4	=	5	2		cos			3π			−		i sin		3π			,		k5	=	5	2		cos		π	−			i sin		π	,
				k4	=		2		cos				5		−		i sin					,		k5	=		2		cos		5	−			i sin			,
													5							5											5						5
	k1	=	5	2	,	k2,3		=	2	5			cos				π	± isin			π			,	k 4,5=			2	5					3π		±	isin		3π
	k1	=		2	,	k2,3		=		5			cos				5	± isin				5		,	k 4,5=				5	cos					5	±	isin		5	.
																	5					5													5				5

Частные решения запишутся:

y1 = e− 5 2x ,	y2 =
5	2x cos	3π
y4 = e	5
	5

Общее решение:

y1 = c1e− 5 2x +

+ e5 2x cos

5 2x cos

2 sin

x ,

y3 =

2x cos

2 sin

x ,

cos

sin

3π

3 π

5 2xcos

cos

2 sin

x ,

sin

2 sin

x .

2x cos

2 sin

cos

x + c3 sin

3π

2 sin

3π

2 sin

3 π

5 c4

cos

c5 sin

x .

§7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
y(n) + a1	(x) y(n− 1) +	... + an (x) y = f( x) ,	(17)
где a1 (x),..., an( x)		переменные или постоянные коэффициенты, имеет вид:
y = y +	y *.
Здесь	y – общее решение линейного однородного уравнения L( y) =		0 , со-

ответствующего данному уравнению, а y * – произвольное частное решение неоднородного уравнения L( y) = f( x) .

Методы нахождения y рассмотрены в §6.

Рассмотрим общий метод нахождения произвольного частного решения y * методом Лагранжа.

7.1. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Линейное уравнение с постоянными или переменными коэффициентами и с любой правой частью f (x) можно решить методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение линейного однородного уравнения y .

Пусть известна фундаментальная система решений y1 , y2 ,..., yn соответствующего однородного уравнения, его общее решение имеет вид

y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn .

Тогда частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

y* =

(x) y1 +

c2(

y2 + ... +

cn(

yn ,

где c1 (x), c2( x) ,..., cn( x) –

неизвестные функции,

которые определяются из

системы уравнений

c '

(x) y

+ c

'( x)

+ ... +

(' x) y

c1 '

(x) y1 '+ c2 '( x) y2 '+ ... + cn(' x) yn '=

(*)

..........................................

c '

(x) y

(n− 2) +

'(x) y

(n−

+ ... +

'(x) y

(n− 2)

c '

(x) y

(n− 1)

'(x) y

(n− 1) + ... +

'(x) y

(n− 1) =

f (x),

где f (x) – правая часть уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y''−

= x .

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения

y''−

0 .

y''

Так как

то ln y' = ln

c x ,

c x

2 + c

или

c x2

–

+ ln c ,

y' =

общее решение.

(x) x2 +

c2( x) – частное решение данного уравнения. Соста-

Запишем y* = c1

вим систему уравнений (*) для нахождения c1

(x)

и c2

(x) :

c ' (x) x2 +

'( x) 1

= 0

или

' x2

= 0

'( x) 0

2c ' (x) x +

= x

2c ' x

Решая систему,

находим c1 ' =

, c2 ' = −

x2 , откуда в результате интегриро-

вания получим:

c1 (x) =

∫ c1

'( x) dx =

∫

dx =

(будем считать

т.к. находим част-

ное решение),

c2 (x) =

∫ c2

'( x) dx =

− ∫

x2 dx =

−

(будем считать

0 ).

Частное

решение

запишется

y* =

c1 (x) y1 +

c2( x) y2 =

x2 −

или

y* =

−

Общее решение данного уравнения:

y =

y + y*

, т.е.

y = c x2

c +

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

	1			,
	y''− y'=
		1+ ex
удовлетворяющее начальным условиям y			x= 0 = 1, y'		x= 0 = 2 .	y * .

Решение. Общее решение данного уравнения запишется y = y +
Найдем y	– общее решение соответствующего линейного однородного
уравнения	y''− y' = 0 . Корни его характеристического уравнения					k 2 − k = 0

вещественные

разные

k1 =

0, k2

= 1 ,

тогда

y =

y* = c1 (x) + c2( x) ex .

и c2 (x)

Составим систему (*) для нахождения c1 (x)

c '(x)1

'( x) ex = 0

c '+ c

'ex

= 0

или

c '(x)0

'( x) ex =

'ex

+ e

откуда получаем c1 '(x) =

−

c2 '(x) =

ex (1+

ex )

1+ ex

c1 + c2ex . Запишем

Следовательно,

c1 (x)

= − ∫

= − x +

ln(1+ e

) ,

1+ ex

c2 (x)

= ∫

− x + ln(1+

) .

ex (1+ ex )

= − e

Запишем

y* = − x +

ln(1 + ex )+

ex [−

e− x

−

x +

ln(1+

ex )].

Общее решение:

y =

1 + c2ex −

x +

ln(1+ ex )− 1−

xex + ex ln(1+

ex )

или

y = c1 + ex (c2 − x) − x + (1+ ex )ln(1+ ex )

( c1 =

1 − 1 ).

Для определения частного решения найдем производную

y' = − 1+ ex [c2 − x + ln(1+ ex )].

в выражение

Подставляя значения x = 0, y = 1,

y' = 2

y = c1 + ex (c2 − x) − x + (1+ ex )ln(1+ ex ) и y' = − 1+ ex [c2 − x + ln(1 + ex )],

получим систему

1 = c1 + c2 + 2ln 2

2 = − 1+ c2 + ln 2.

Откуда c1 =

− 2 − ln 2, c2 = 3 − ln 2..

Искомое частное решение запишется:

y = − x + ex (3 − ln 2 − x) + (1 + ex )ln(1 + ex )− 2 − ln 2 .

Пример 3. Найти общее решение уравнения

y'''−

y''+ 6

y'− 6

x .

Решение. Структура общего решения имеет вид y =

y * .

Найдем

- общее решение уравнения y'''−

y''+

y'−

y =

0 .

Решение будем искать в виде многочлена y = axn методом подбора. Непосредственной проверкой убедимся, что многочлены y1 = x, y2 = x2 , y3 = x3 являются решениями уравнения и образуют фундаментальную систему

решений. Тогда	y =	c x + c		x2 + c	x3 .
		1	2	3

Методом Лагранжа найдем частное решение y * данного уравнения, т.е.

y* = c1 (x) x + c2( x) x2 + c3( x) x3 .

Составим систему (*) для определения c1 (x),

c2( x) , c3( x)

1 ( )

2 ( )

3( )

' x

2 +

= 0

c ' x x +

c ' x x2 +

c ' x x3 = 0

c ' x +

c ' x3

c '(x)1+

'( x) 2x +

c (' x) 3x2 =

0 или

c '+ 2c

' x +

' x2 =

c2 '(x)2 + c3 '( x) 6x =

2c2 ' +

6c3 ' x =

Решая систему, получим c1 '(x) = 1

x3 ,

c2 '(x) =

−

c3 '(x) =

, откуда

(x) = 1

x5 , c2

(x) = −

x3 , c3 (x) =

x .

Частное решение запишется

y* = 1

x5 x −

x3 x2+

xx3

x7 .

Следовательно, общее решение имеет вид:

y =

c1 x + c2 x2 +

c3 x3 + 8

x7 .

§8. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим

линейное

неоднородное

дифференциальное

уравнение

с постоянными коэффициентами, т.е. уравнения вида

y(n) + a1 y( n− 1) +

... +

an− 1 y'+

an y =

f (x) ,

(17)

где ai (i = 1,2,...,n)

- действительные числа, а

f (x) ≠ 0 .

Общее решение уравнения (17) записывается в виде y = y +

y * , где y

– общее решение L( y) = 0 . соответствующего данному,

y * – любое частное

решение уравнения L( y) = f( x) .

Общее решение y находится с помощью табл. 1.

Для отыскания

y * в общем случае можно воспользоваться методом

Лагранжа вариации произвольных постоянных.

В частных случаях, когда функция f (x)

в уравнении (17) имеет специ-

альный вид, частное решение находится методом неопределенных коэффициентов (метод подбора частного решения). При этом используют табл. 2.

Таблица 2

Вид правой части

Корни

Вид частного решения

характеристического

уравнения (17)

уравнения L( y) =

0 .

1) α

–

не является

(x)

корнем

характеристи-

y* = eα xQm

f (x) = eα

x P ( x)

ческого уравнения

2) α

–

корень харак-

y* = x r eα x Q m (x)

теристического

урав-

нения кратности r

1) ±

i – не является

y* = M cos β x +

N sin β x

корнем характеристиче-

f (x) =

Acos β

x +

Bsin β x

ского уравнения

2) ±

i – корень ха-

y* = xr (M cos β x +

рактеристического

N sin β

уравнения кратности r

1) α

i – не являет-

eα x [M k (x) cos β x +

N k( x)

f (x) =

eα x [Pm( x)

cos β x +

ся

корнем характери-

y* =

sin β

стического уравнения

Pn (x) sin β x ]

2) α

i – корень ха-

xr eα x [M k (x) cos β x +

Nk( x)

рактеристического

y* =

sin β

уравнения кратности r

Замечание 1 (к табл. 2). M k (x) =

A0 + A1 x +

A2 x2 + ... +

Ak xk ,

Nk (x) = B0 + B1 x + B2 x2 + ... +

Bk xk , где k – наибольшее из чисел m и n.

Замечание 2. Если

f (x) =

f1( x) +

f2(

x) , то

y* = y1 * +

y2 * , где

y1 * соответ-

ствует f1 (x) , а y2 * -

f2 (x) .

Замечание 3. Многочлены Qm (x)

должны быть

полными (т.е. содер-

жать все степени x, от 0 до m). Если в выражение функции f (x)

входит хо-

тя бы одна из функций cos β x

или sin β x , то в y *

нужно всегда вводить обе

функции.

Пример 1. Записать вид частного решения уравнения y'''− y'' =

f (x) , если

а) f (x) = 2 ;

б) f (x) = 3x2 −

2x + 5 ;

в) f (x) =

2e− 3x ; г) f (x) =

2xex ; д) f (x) = 3sin 2x ;

е) f (x) = 3sin x + 5cos2x

ж) f (x) =

sin 2x +

5x cos 2x

Решение. Характеристическое уравнение запишется k 3 − k 2

= 0 , имеем

корни k1,2 =

k3 = 1 .

Запишем частные решения уравнения в общем виде (не находя коэффициентов):

а) y* = Ax2 ; б) y* = x2 (Ax2 + Bx + C); в) y* = Ae− 3x ; г) y* = x(Ax + B)ex ;

д) y* =

Acos 2x + Bsin 2x ; е) y* =

y1 * +

y2 * =

Acos x +

Bsin x +

C cos2x +

Dsin 2x ;

ж) y* =

(Ax +

B) cos2x + ( Cx + D) sin 2x .

Пример 2. Найти общее решение уравнения yIV + y'' =

x2 +

x .

Решение.

Характеристическое

уравнение

k 4 + k 2

0 ,

его

корни

k1,2 = 0, k3,4 =

± i .

Общее решение соответствующего однородного уравнения запишется

y =

c1 + c2 x + c3 cos x + c4 sin x .

Частное решение имеет вид

y* =

x2 (Ax2 + Bx +

C) = Ax4 + Bx3 +

Cx2 .

Для определения неизвестных коэффициентов A,B,C вычислим произ-

водные от

y * :

y*'= 2Cx + 3Bx2 + 4 Ax3 ,

y*'' = 2C + 6Bx + 12 Ax2 ,

y*''' = 6B +

24 Ax ,

y *IV =

24 A

и подставим в уравнение yIV + y'' = x2 +

x . Из полученного тождества

24А+2С+6Вх+12Ах2≡х2+х

определим коэффициенты A,B,C двумя методами:

1) уравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x , получим

12A =

6B = 1

24A +

2C =

откуда A =

B =

, C = − 1.

2) зададим x произвольные значения.

Пусть x = 0

24A + 2C = 0 ,

x = − 1

24A + 2C − 6B + 12A = 0,

x = 1

24 A + 2C + 6B + 12 A = 2.

Решая полученную систему, найдем

A =

B =

C = −

1. При определе-

нии коэффициентов используется или первый или второй метод, а иногда уместно применить одновременно оба.

Частное решение запишется y

− x2 . Следовательно,

y =

C1 + C2 x + C3 cos x + C4 sin x − x 2 +

x 4

есть общее решение уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′−

2 y′′+ y′=

4(sin x +

cos x) , удовлетворяющее начальным условиям:

x= 0 = 1, y′

x= 0 = 0, y′′

x= 0 = − 1.

Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

k 3 −

2k 2 + k =

k2 = k3 =

1. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

y =

C x)ex.

Запишем частное решение y

= Acos x + Bsin x.

Вычислим производные:

( y )′= −

Asin x +

Bcos x , ( y )′′= −

Acos x −

Bsin x ,

( y )′′′= Asin x −

B cos x;

после подстановки y

( y

′

( y

′′

( y

)

′′′

в левую часть данного уравне-

) ,

ния

получим

2 Acos x + 2Bsin x ≡ 4 cos x +

4sin x

–

тождество,

из которого

A =

2, B = 2;

= 2 cos x +

2 sin x

- частное решение. Общее решение неодно-

родного уравнения y =

+ y или y =

C1 +

(C2

C3 x)e x + 2 cos x + 2 sin x.

Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Продифференцируем последовательно два раза общее решение и получим три равенства:

y =	C + (C		2	+ C	3	x)ex +	2cos x + 2sin x,
	1		2		3
y′=	[C2 +	C3 (1+			x)]ex +		2(− sin x +	cos x),
y′′=	[C2 +	C3 (2 + x)]ex −					2(cos x +	sin x).

Подставляя начальные условия x = 0, y = 1, y′= 0, y′′= − 1 в эти равенства получим, систему уравнений с неизвестными C1 , C2 , C3 .

1 =		C1 + C2 + 2
	0 =	C2 + C3 + 2

	− 1	= C2 + 2C3 − 2,

откуда C1 = 4, C2 = − 5, C3 = 3. Следовательно, y = 4 + (− 5 + 3x)e x + 2(cos x + sin x)

– искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

§9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ

КЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

9.1. Уравнение Эйлера

Уравнение вида

xn y(n) +	a1 xn− 1 y(n− 1) + Κ +	an− 1 xy′+ an y =	0,	(18)
где ai = const (i = 1, 2, Κ , n).	Заменой x = et	(или x = − et	при x < 0 ) уравнение

сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде y = ert = (et ) r = x r . Для на-

хождения r получают характеристическое уравнение. Простому корню r1 соответствует решение x r1 , а m-кратному корню r1 – m линейно независимых решений вида x r1 , x r1 ln x, x r1 (ln x) 2 , Κ , x r1 (ln x) m− 1 . Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет ком-

плексно сопряженные корни r0

α 0 ±

iβ 0 кратности µ , то уравнение Эйлера

имеет 2µ линейно независимых решений вида

xα 0 cos(β

0 ln x),

xα

ln x cos(β 0 ln x), Κ ,

xα 0 (ln x)µ − 1 cos(β 0 ln x),

xα 0 sin(β

0 ln x),

xα

ln xsin(β 0 ln x), Κ ,

xα 0 (ln x)µ − 1 sin(β 0 ln x).

9.2. Уравнение Лагранжа

Уравнение вида

(ax + b) n y ( n) + a1 (ax +

b) n− 1 y (n− 1)

+ Κ + an− 1 (ax +

b) y′+ an y = 0, Κ

(19)

где a, b, ai = const

(i = 1, 2, Κ , n). Заменой ax + b = et

уравнение Лагранжа сво-

дится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

9.3. Уравнение Чебышева

Уравнение вида

(1− x2 ) y′′−

xy′+ n2 y =

(20)

где n = const. . Заменой x = cos t

(при

<1) уравнение Чебышева сводится к

уравнению

d 2 y

n2 y = 0.

dt 2

9.4. Линейное однородное уравнение второго порядка

Уравнение вида

y′′+

a1 (x) y′+ a2 (x) y =

(21)

−

a ( x)dx

с помощью замены y =

u e

2 ∫

сводится к уравнению u′′ + Q(x)u =

где Q(x) = a2 (x) −

′

Последнее является уравнением с посто-

a1 (x)

−

(x).

янными коэффициентами

или

уравнением

Лагранжа, если Q(x) = c

или

Q(x) =

(a, b, c =

const) соответственно.

(ax + b)2

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.201615.47 Кб17Text_1.docx
#
14.08.201942.04 Кб11theoretical phonetics.docx
#
24.12.20181.03 Mб7TOE_RGR1.doc
#
29.08.201979.87 Кб3topics_II.doc
#
25.04.2019263.68 Кб2tpp_taktika.doc
#
14.02.2016920.51 Кб35Trufanova, Situn Differ_v_zadachah_i_prikladah.pdf
#
18.09.20192.8 Mб7tsa.docx
#
07.12.2018359.94 Кб9tsivilne_modul_2.doc
#
14.02.2016608.23 Кб4TSPD.pdf
#
30.04.2019187.9 Кб0TURISTIChNYe_KRAYiNOZNAVSTVO___A_ALL.doc
#
06.08.2019191.49 Кб10TYeSTI.doc