Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Trufanova, Situn Differ_v_zadachah_i_prikladah.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
920.51 Кб
Скачать

9.8 Найти интегральную кривую уравнения yy′′ + y2 = 1, проходящую через точку (0,1) и касающуюся в этой точке прямой x + y = 1 (почему получается

одна интегральная кривая ?).

 

 

10.8 Частица массы m движется по оси Ox , отталкиваясь от точки x =

0

с

силой 3mr0 и притягиваясь к точке x = 1 с силой 4mr1 , где r0 и

r1

-

расстояние до этих точек. Определить движения частицы с начальными

условиями x(0) =

 

 

 

 

&

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, x(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9

x3 y′′′ +

 

x2 y′′

=

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9

yy

′′

 

 

y

2

=

 

 

y

2

;

 

 

y(0) =

1, y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.9

x

2

yy

′′

 

=

 

 

(y

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.9

64y viii +

 

48y vi

 

+

 

 

12 yv

+ y′′ = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.9

y(0) =

 

0, y(0) = 0, y′′(0) =

0, y′′′(0) =

1, yv (0) =

1, yv (0) = 0, yvi (0) =

1, yvii (0) =

1

 

 

 

 

 

y′′′ −

 

 

4 y′ =

 

3 +

 

 

e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.9

y''+

 

y =

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.9

x

2

y

′′

 

+

 

3xy

+

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1 (до x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.9

y

′′

 

=

 

 

 

y +

 

 

x

2

+

 

 

y

2

;

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = 1, y (0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.9

Найти интегральную кривую уравнения

′′

=

y

3

+

y

′′2

, касающуюся в

yy y

 

 

 

начале координат прямой x + y =

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.9

 

 

Электрическая цепь состоит из последовательно включенных

источников постоянного тока, дающего напряжение U , сопротивления R ,

самоиндукции

 

 

 

L

 

 

и выключателя, который включается при t = 0 . Найти

зависимость силы тока от времени (при t > 0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10

xy′′′ −

 

 

y′′ +

 

 

 

=

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10

yy

′′

 

=

 

 

y

2

;

 

 

 

 

y(0) =

 

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.10

y(xy

′′

+

 

 

 

 

 

 

=

 

xy

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y )

 

 

 

 

(1 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.10

y

′′′

=

 

 

 

 

 

 

 

y(0) =

 

 

=

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ;

 

 

 

2, y (0)

0, y (0) = − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.10

yv

 

 

5 y′′′ +

 

 

6 y′′

 

=

2x +

sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.10

y′′ −

 

 

 

y =

 

4x2

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.10

x

2

y

′′

 

3xy

+

 

 

4 y =

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

8.10

(1 + x

2

)y

′′

+ xy

y = 0;

y(0)

3

)

 

 

 

= 1, y (0) = 1 (до x

 

9.10

Последовательно включены источники тока, напряжение каждого

меняется по закону E =

v sin ω

t , сопротивление R и самоиндукция L . Найти

силу тока в цепи (установившийся режим).

 

 

10.10 Найти плоские кривые, радиус кривизны которых пропорционален кубу длины отрезка нормали.

1.11

 

 

′′′

=

 

 

2 y

′′2

 

 

 

 

 

 

Вариант 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.11

2 yy′′ =

 

y2 ;

y(

1) = 4, y(1) =

1

 

 

 

3.11

x2 yy′′ +

 

 

y2

 

=

0

 

y(0) =

 

0, y (0)

=

0, y (0)

=

1, y (0)

= 2

4.11

y

v

 

+

2y' '+

y =

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

′′′

 

5.11

y v

+

y′′′

=

 

x2

+ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

6.11

y

′′′

+

y

=

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.11

(x2

 

1) y′′ +

 

xy′ −

2 y =

0

 

 

 

 

 

8.11

y

′′

xy

y =

0;

 

y(0) =

 

= 0

 

 

 

 

 

 

1, y (0)

 

 

 

9.11 Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в начале кординат,

 

 

π

 

 

π

 

если ее кривизна в любой точке равна cos x

 

 

<

x <

 

 

.

2

2

 

 

 

 

 

10.11 Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости.

1.12

y′′′

=

2( y′′ −

1)ctgx

 

 

Вариант 12

 

 

 

 

 

2.12

y

2

 

+

 

yy

′′

=

 

 

 

=

2

 

 

 

 

 

 

 

yy ;

y(0) = 1, y (0)

 

 

3.12

xyy

′′

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

y

( y

y )

 

 

 

 

 

 

4.12

y

′′′

4 y

′′

+ 5y

=

0; y(0) =

 

 

′′

= 2

 

 

 

 

0, y (0) =

1, y (0)

5.12

yv

 

y =

 

x2 +

 

ex

 

 

 

 

 

 

6.12

y′′ −

 

y′ =

 

 

e2 x

1

e2 x

 

 

 

 

 

7.12

x2 y′′ − 6 y = 12 ln x

 

 

 

π

(до x

 

)

8.12

y

′′

=

=

=

4

 

3

 

 

xy cos y ; y(0)

1, y (0)

 

9.12 Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вверх.

44

10.12 Мяч массой 400г падает с высоты 16,7м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча и равно 0,0048Н при скорости 1 м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять g=10 м/с2.

Вариант 13

1.13

x2 y′′′ =

 

y′′2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.13

x

2

y

′′

3xy

=

6 y 2

 

4 y ;

y(1) = 1,

 

 

4

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (1) =

3.13

x

 

y

′′

=

( y

 

xy )( y

 

xy

x)

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.13

y

′′′

 

3y

+

2 y =

0;

 

 

y(0) =

 

=

′′

 

 

 

 

 

 

 

0, y (0)

1, y (0) = − 1

5.13

y′′′ −

 

3y′ +

2 y =

e

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

6.13

y′′ +

 

y =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y′′′ −

3xy′′ + 3y

=

0

 

 

 

 

(до x

 

)

8.13

y

′′

 

=

 

xy

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

4

 

 

 

 

y ;

 

y(0) = 2, y (0)

 

9.13 Найти уравнение кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вниз.

10.13 Тело массы m движется прямолинейно под действием постоянной силы p . Найти скорость движения и пройденный им путь как функцию

времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

1.14

y′′′

=

y′′2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.14

2 yy

′′

=

y

2

;

y(

1) =

1) = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, y (

 

 

 

 

 

 

 

3.14

x2 (2 yy′′ −

 

y2 ) =

 

1

2xyy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.14

y

v

 

+

8y

′′

+

 

16 y =

0;

y(0) =

=

′′

 

 

= 1, y

′′′

= 1

 

 

 

 

 

0, y

(0)

1, y (0)

(0)

5.14

yv

 

y =

 

5ex sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.14

y′′ − 2 y′ =

 

 

4e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

e

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.14

x2 y′′′ −

2 y′ =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

(до x

 

)

 

 

 

8.14

y

′′

=

 

xy

 

y +

e

x

;

 

 

 

= 1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = 1, y (0)

 

 

 

 

 

9.14 Найти кривые постоянного радиуса кривизны.

10.14 Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние x0 .

45

 

 

 

 

 

 

y

xy

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 15

 

 

1.15

y′′ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy

′′

=

 

y

2

y

3

 

 

 

 

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; y(0) = 1, y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.15

x

2

yy

 

=

( y

xy )

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.15

y

v

+

 

2 y

′′

+

y =

 

 

 

 

 

 

′′

= 1, y

′′′

= 2

 

 

 

 

0; y(0) = 0, y (0)

= 0, y (0)

(0)

5.15

yv

+

 

2 y′′ +

y =

x2 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

6.15

y

′′

+

9 y =

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.15

(2x +

1) y′′ + 4xy′ −

4 y = 0

 

 

(до x

 

)

 

 

 

8.15

y

′′

=

 

xy

+

 

e

y

;

y(0) =

=

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, y (0)

 

 

 

 

9.15 Найти кривые, у которых радиус кривизны равен нормали.

10.15 Материальная точка массы m движется прямолинейно к неподвижному центру, притягивающему ее силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние x0 . Определить время, по истечении которого точка достигает

центра.

 

 

y′′2

yy′′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 16

 

 

 

 

 

1.16

 

=

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

3

y

′′

= 1;

 

 

y(

2) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, y (2) =

 

 

 

 

 

 

 

 

3.16

4x2 y3 y′′ =

x2

 

y4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.16

 

y

v

+

 

y

′′′

=

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

=

′′

=

′′′

=

1, y

v

(0)

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = 0, y (0)

1, y (0)

2, y (0)

 

5.16

 

y v

+

 

y′′′

=

 

x2

+

 

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.16

 

y

′′

6 y

+

 

8 y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.16

 

x2 y′′ −

 

2 y =

 

sin ln x

 

 

1 (до x

 

)

 

 

 

 

 

8.16

 

y

′′

=

 

yx

2

+

 

y

3

;

 

 

y(0) =

=

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)

 

 

 

 

 

 

9.16 Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу нормали.

10.16 Балка длины l , лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q . Найти

уравнение прогнутой оси балки и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине нагруженной балки.

Вариант 17

1.17

x3 y′′′ +

x2 y′′ =

x

 

 

 

2.17

′′

3

+

9 = 0;

y(1) =

1,

= 3

y y

 

y (1)

46

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]