4. Розв‘язування системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

Одним з найпоширеніших методів розв‘язування систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаусса.

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими:

За допомогою елементарних перетворень цю систему приводять до системи вигляду:

Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною.

Дослідимо цю систему.

• Якщо система містить рівняння виду або , то вона несумісна.

• Якщо система не містить рівнянь виду ( ), то вона має безліч розв‘язків.

Назвемо невідомі основними, а всі інші – вільними. Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи їх у рівняння системи, з -го рівняння знайдемо . піднімаючись угору по системі, знайдемо всі останні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь – яких значень, то система має безліч розв‘язків.

• Якщо , то система має трикутний вигляд і вільних невідомих немає. Система має єдиний розв‘язок.

Приклад.

Розв‘язати систему рівнянь методом Гаусса.

При розв‘язуванні системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше приводити до трикутного чи трапецієподібного вигляду не саму систему, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіцієнтів стовпця вільних членів. Виконуючи над рядками розширеної матриці елементарні перетворення, приходимо до розв‘язку системи.

{ зробимо коефіцієнт рівним одиниці, тобто поміняємо місцями перший та другий рядки } =

= { помножимо послідовно перший рядок на (-2), (-1), (-1) та додамо відповідно до 2, 3, 4 рядків } =

= { перший та третій рядки залишимо без змін, а другий помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =

= { перший та другий рядки не змінюємо, а третій помножимо на (-1) та додамо до четвертого } =

= .

Отже, система еквівалентна системі трикутного вигляду

І має єдиний розв‘язок x

4. Однорідні системи лінійних рівнянь.

Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:

Ця система завжди має нульовий розв‘язок:

Ненульовий розв‘язок, якщо він є, можна знайти методом Гаусса. Якщо і визначник системи дорівнює нулю,то однорідна система має безліч ненульових розв‘язків.

Покажемо, що для однорідної системи трьох рівнянь з трьома невідомими можна знайти загальні формули, що виражають ненульові розв‘язки через коефіцієнти системи.

Розглянемо систему

Якщо визначник системи системи то система має єдиний нульовий розв‘язок. Дійсно, , тому за формулами Крамера

Покажемо, що коли визначник то система має безліч розв‘язків. Розглянемо такі випадки.

• Припустимо, що у визначнику існує принаймні один відмінний від нуля мінор другого порядку. Нехай, наприклад,

Візьмемо ті рівняння системи, що містять відмінний від нуля мінор і запишемо їх у вигляді

Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то за формулами Крамера

де

;

Оскільки може набувати будь – яких дійсних значень, покладемо , де – довільне дійсне число, тоді

; .

• Нехай тепер визначник початкової системи і всі його мінори другого порядку дорівнюють нулю. Тоді система зводиться до одного рівняння з трьома невідомими. Надаючи двом невідомим довільних значень, знаходять відповідно їм третє невідоме.

Приклад.

Розв‘язати систему рівнянь

Визначник системи

тому система невизначена.

Візьмемо перше і друге рівняння системи. Ці рівняння містять відмінний від нуля мінор другого порядку

Тоді ранг цієї системи Кількість вільних невідомих Нехай це буде z

Виберемо величину z у формі де t – довільне число. Із двох перших рівнянь системи знаходимо:

Остаточно