3.12 Робота з переміщення

провідника й контуру зі струмом у магнітному полі

На провідник зі струмом у магнітному полі діють сили, обумовлені законом Ампера (див. §111). Якщо провідник не закріплений (наприклад, одна зі сторін контуру виготовлена у вигляді рухливої перемички, мал. 177), то під дією сили Ампера він буде в магнітному полі переміщатися. Отже, магнітне поле робить роботу з переміщення провідника зі струмом.

Для визначення цієї роботи рас-

дивимося провідник довжиною / зі струмом / (він може вільно переміщатися), поміщений в однорідне зовнішнє магнітне поле, перпендикулярне площини контуру. При зазначених на мал. 177 напрямках струму й поля сила, напрямок якої визначається за правилом лівої руки, а значення - за законом Ампера (див. (111.2)), дорівнює

Під дією цієї сили провідник переміститься паралельно самому собі на відрізок Ах з положення / у положення 2. Робота, чинена магнітним полем, дорівнює

d = F dx = IBl dx = IB d = / d<D,

тому що idx — d— площа, пересічна провідником при його переміщенні в магнітному полі, В d = dfl) — потік вектора магнітної індукції, що пронизує цю площу. Таким чином,

dЛ = /dФ, (121.1)

т. е. робота з переміщення провідника зі струмом у магнітному полі дорівнює добутку сили струму на магнітний потік, пересічений провідником, що рухається. Отримана формула справедлива й для довільного напрямку вектора В.

Закон повного струму для магнітного поля в речовині (теорема про циркуляції вектора В) є узагальненням закону

де / й /' — відповідно алгебраїчні суми макрострумів (струмів провідності) і мікрострумів (молекулярних струмів), охоплюваних довільним замкнутим контуром L. Таким чином, циркуляція вектора магнітної індукції В по довільному замкнутому контурі дорівнює алгебраїчній сумі струмів провідності й молекулярних струмів, охоплюваних цим контуром, помноженої на магнітну постійну. Вектор В, таким чином, характеризує результуюче поле, створене як макроскопічними струмами в провідниках (струмами провідності).

так і мікроскопічними струмами в магнетиках, тому лінії вектора магнітної 'індукції В не мають джерел й є замкнутими.

Можна довести, що циркуляція намагніченості J по довільному замкнутому контурі L дорівнює алгебраїчній сумі молекулярних струмів, охоплюваних цим контуром:

Тоді закон повного струму для магнітного поля в речовині можна записати також у вигляді

де /, підкреслимо це ще раз, є алгебраїчна сума струмів провідності.

Вираження являє собою теорему про циркуляції вектора Н.

Вираження, що коштує в дужках в (133.9), згідно (133.5), є не що інше, як уведений раніше вектор Н напруженості магнітного поля. Отже, циркуляція вектора Н по довільному замкнутому контурі L дорівнює алгебраїчній сумі струмів провідності, охоплюваних цим контуром:

Феромагнетики широко застосовуються як осердя для трансформаторів, генераторів, електродвигунів, як постійні магніти у вимірювальних приладах, системах автоматики та ін. Феромагнетики застосовують для виготовлення стрічок для відео-, звукозапису та комп'ютерів. Магнітна топографія на стрічці створюється за допомогою електромагнітної котушки, магнітне поле якої відповідає електричним коливанням у схемі. Відтворення електричних коливань відбувається у зворотньому напрямі, як на магнітофоні, тобто магнітні поля стрічки визивають індукційний струм у котушці, який далі перетворюється в чи звук зображення.

Вираження являє собою теорему про циркуляції вектора Н

3.13. Рівняння Максвелла в інтегральній і диференціальній формах.

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі:

Величини, що входять у рівняння Максвелла, не є незалежними й між ними існує наступний зв'язок (ізотропні не сегнетоэлектрические й не феромагнітні середовища):

де в і — відповідно електрична й магнітна постійні, і — відповідно діелектрична й магнітна проникності, y — питома провідність речовини.

З рівнянь Максвелла випливає, що джерелами електричного поля можуть бути або електричні заряди, або магнітні поля, що змінюються в часі, а магнітні поля можуть збуджуватися або електричними зарядами, що рухаються (електричними струмами), або змінними електричними полями. Рівняння Максвелла не симетричні щодо електричних і магнітних полів. Це пов'язане з тим, що в природі існують електричні заряди, але немає зарядів магнітних.

Для стаціонарних полів (Е = const й B=const) рівняння Максвелла приймуть вид

т. е. джерелами електричного поля в цьому випадку є тільки електричні заряди, джерелами магнітного— тільки струми провідності. У цьому випадку електричні й магнітні поля незалежні друг від друга, що й дозволяє вивчати окремо постійні електричне й магнітне поля.

Скориставшись відомими з векторного аналізу теоремами Стокса й Гаусса

можна представити повну систему рівнянь Максвелла в диференціальній формі

4,1 Гармонические колебания и их характеристики колебания контура маятникПружинный, физический и математический маятник.

Колебаниями(механические,электромагн.)-движения или процессы, которые характеризуются опреде­лимой повторяемостью во времени. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Колебания называются свободными если они совершаются за первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних сил. Гармонические колебания описываются уравнением типа s=Acos( ω +φ),с А — максимальное значение колеблющейся величины(амплитуда) ωo — круговая (циклическая) частота,φ-начальная фаза колебания (при t=0), Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяэться череп промежуток времени Т(период колебания) Т=2п/ ω₀ ( = 1/Т). частота колебаний число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

(Гц)

дифференциальное уравнение гармонических колебаний Ds/dt+ω2s=0 (где s=Acos(ω0+φ) )

Механические гармонические колебания

Пружинный, физический и математический маятники.Гармонический осциллятор-система, совершающая колебания, описание уравнением вида

пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону x= Acos( ω +φ),с циклической

частотой

и периодом .

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С тела. момент возвращающей силы M= sin =-mglα

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб-шощаяся под действием силы тяжести.

Момент инерции математического маятникаJ=ml²,где l — длина маятника.

Формула Томсона

4.2 Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы в виде:

Где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной процесс, δ = const – коэффициент затухания. ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (δ = 0 ) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение: Рассмотрим уравнение в виде:

Где u = u ( t ). После нахождения первой и второй производных выражения и подстановки их в дифференциальное уравнение:

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда он положителен.

( если ), то:

Решение :

Характеристики затухань

1.δ ( Коефіцієнт згасання )

Це фізична величина, що обернена до часу за який амплітуда коливань спадає в 100 разів.

2.Логарифмічний декремент згасання

λ = δ Т

обернена до кількості коливань, за які амплітуда зменшується в е разів.

Аперіодичні процеси

δ зростає, δ→ω0

ω → 0, Т→ ∞

δ=ω0, Т= ∞ - критичний момент коли система не здійснює коливань

4.3 Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э. д. с, называются соответствен­но вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колеба­ниями. Диференціальне рівняння:

ω₀- циклическая частота.

хо в случае механиче­ских колебаний равно F₀/m, в случае элек­тромагнитных — U_m/L.

Амплітуда-максимальное значение колебающейся системы

Амплитуда

Начальная фаза колебаний

гармонично колеблющаяся величина

резонансную частоту ω_рез — частоту, при которой ам­плитуда А смещения (заряда) достигает максимума. резонанс­ная частота

δ-коеф. затухания

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе­нии частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте ω_рез называется резонансом (со­ответственно механическим или электриче­ским).

залежність амплітуди вимушених коливань від частоти

Резонанс токов-явление резкого уменшения амплитуды силы тока при приближении частоты ω до частоти ω_рез.

4.4 Автоколивання - коливання при яких втрати механічної енергії поновлюються ззовні в певний момент години. Визначення частоти тону (звуку певної висоти биттів між еталонним і вимірюваним коливаннями - найбільше широко застосовуваний на практиці метод порівняння вимірюваної величини з еталонної. Метод биттів використається для настроювання музичних інструментів, аналізу слуху й т.д.Будь-які складні періодичні коливання s — f(t) можна представити у вигляді суперпозиції гармонійних коливань, що одночасно відбуваються, з різними амплітудами, початковими фазами, а також частотами, кратними циклічній частоті :

Подання періодичної функції у вигляді зв'язують із поняттям гармонійного аналізу складного періодичного коливання, або розкладання Фур'є *. Члени ряду Фур'є, що визначають гармонійні коливання із частотами , , …., називаються першою (або основною), другою, третьою т.д. гармоніками складного періодичного коливання.

4.5. Хвильові процеси. Поздовжні й поперечні хвилі. Коливання, збуджені в якій-небудь крапці середовища (тверд, рідкої або газоподібної), поширюються в ній з кінцевою швидкістю, що залежить від властивостей середовища, передаючись від однієї крапки середовища до іншої. Ніж далі розташована частка середовища від джерела коливань, тим пізніше вона почне коливатися. Інакше кажучи, фази коливань часток середовища й джерела тим більше відрізняються друг від друга, чим більше ця відстань. При вивченні поширення коливань не враховується дискретне (молекулярне) будова середовища й середовище розглядається як суцільна, тобто безупинно розподілена в просторі й обладающая пружних властивостях. Процесс поширення коливань у суцільному середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частки до частки середовища передаються лише стан коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю всіх хвиль, незалежно від їхньої природи, є перенос енергії без переносу речовини. Серед різноманітних хвиль, що зустрічаються в природі й техніку, виділяються наступні їхні типи: хвилі на поверхні рідини, пружні й електромагнітні хвилі. Пружними (або механічними) хвилями називаються механічні збурювання, що поширюються в пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поздовжні й поперечні. У поздовжніх хвилях частки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних — у площинах, перпендикулярних напрямку поширення хвилі. Поздовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформації стиску й розтягання, тобто твердих, рідких і газоподібних тілах. Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищі, у якій виникають пружні сили при деформації зрушення, тобто фактично тільки у твердих тілах; у рідинах і газах виникають тільки поздовжні хвилі, а у твердих тілах — як поздовжні, так і поперечні.

Уплаючи хвиля називається гармонійної, якщо відповідні їй коливання часток середовища є гармонійними. На мал. 220 представлена гармонійна поперечна хвиля, що поширюється зі швидкістю v уздовж осі х, тобто наведена залежність між зсувом | часток середовища, що беруть участь у хвильовому процесі, і відстанню х цих часток (наприклад, частки В) від джерела коливань Про для якогось фіксованого моменту часу t. Хоча наведений графік функції | (х, t) схожий на графік гармонійного коливання, але вони різні власне кажучи. Графік хвилі дає залежність зсуву

всіх часток середовища від відстані до джерела коливань у цей момент часу, а графік коливань — залежність зсуву даної частки від часу.

Відстань між найближчими частками, що коливаються в однаковій фазі, ъэдч&эдздсъ juvwftcu хвилі \ ^мал. 220£) Довжина хвилі дорівнює тій відстані, на яке поширюється певна фаза коливання за період, тобто

або, з огляду на, що Т= 1/v, де v — частота коливань, Якщо розглянути хвильовий процес докладніше, те ясно, що коливаються не тільки частки, розташовані уздовж осі х, а коливається сукупність часток, розташованих у деякому об'ємі, тобто хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює всі нові й нові області простору. Геометричне місце крапок, до яких доходять коливання до моменту часу t, називається хвильовим фронтом. Геометричне місце крапок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести незліченна безліч, а хвильовий фронт у кожен момент часу — один. Хвильовий фронт також є хвильовою поверхнею. У принципі хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми, а в найпростішому випадку вони являють собою сукупність площин, паралельних один одному, або сукупність концентричних сфер. Відповідно хвиля називається плоскої або сферичної.