Приложение Умножение матриц. Обратная матрица.

Пусть A – строка, а B – столбец, состоящие из одинакового количества элементов:

A = (a₁, a₂,…, a_n) B = .

Тогда их произведением называется число

A·B = a₁b¹ + a₂b² +…+ a_nbⁿ.

Пусть A и B – две матрицы, причём длина строк матрицы A равна высоте столбцов матрицы B; другими словами, количество столбцов в A совпадает с количеством строк в B:

A = , B = .

Таким образом, размер матриц равен соответственно mn и nk. Обозначим

c_jⁱ = AⁱB_j = (aⁱ₁, aⁱ₂,…, aⁱ_n) = aⁱ₁b¹_j + aⁱ₂b²_j +… + aⁱ_nbⁿ_j –

произведение i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, i=1,…, m, j=1,…, k. Тогда элементы c_jⁱ образуют матрицу C размера mk, которая называется произведением матриц A и B. Например, произведением матриц A и B размера 23 и 35 соответственно будет матрица C размера 25 и в ней элемент с¹₃ получается в результате произведения первой строки матрицы A и третьего столбца матрицы B.

Пример 1. В результате произведения матрицы A размера 33 и столбца X высоты 3 (т.е. матрицы размера 31) получается матрица размера 31, т.е. столбец

= .

Если B = , то запись AX = B означает

т.е. матричное равенство AX = B в развёрнутом виде представляет собой систему линейных уравнений.

^{Пример 2.} = = .

Мы видим, что в результате произведения двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

Свойства умножения матриц.

1. Если определено AB, то произведение BA может быть вообще не определено. Даже если определены оба произведения AB и BA, то они могут иметь разный размер и их нельзя приравнивать. Если AB и BA имеют одинаковый размер, то может быть, что AB  BA. Для матриц из примера 1 имеем

= .

Если AB = BA, то говорят, что матрицы A и B коммутируют.

2. A(B + С) = AB + AС, (A + B)С = AС + BС.

3. (A)B = (AB).

4. (AB)С = (BС).

Этот список свойств не является полным. Мы отметили лишь часть свойств.

Определение. Матрица X называется обратной к матрице A, если

AX = XA = E. (14)

Тогда пишем, что X = A^1. Матрица A называется обратимой, если существует обратная к ней матрица A^1.

Из определения сразу же следует, что A и X – квадратные матрицы одинакового размера и detA·detX = detE = 1. Поэтому необходимым условием существования обратной к матрице A является detA0. Примем без доказательства, что это условие является также и достаточным.

Способы нахождения обратной матрицы.

1. С помощью определения. Этот способ будет изучен на практических занятиях.

2. С помощью алгебраических дополнений. Мы ограничимся квадратными матрицами порядка 3.

Обозначим Aⁱ_j – матрица, которая получается из матрицы A в результате вычёркивания i-ой строки и j-го столбца. Тогда её определитель называется минором, дополнительным к элементу : Mⁱ_j = det Aⁱ_j. Добавим теперь к этому минору знак «», если сумма нечётна:

Mij; ¯ = (1)^i+jMⁱ_j = (1)^i+jdet Aⁱ_j.

Получившаяся величина называется алгебраическим дополнением элемента aⁱ_j. Тогда

A^1= .

Таким образом, для того, чтобы получить обратную матрицу, мы в матрице A на место каждого элемента ставим его алгебраическое дополнение, получившуюся матрицу транспонируем и умножаем на (det A)^1.

^{Пример.} A = .

Составляем и вычисляем алгебраические дополнения; при этом размещаем их на бумаге в виде матрицы, так чтобы каждое алгебраическое дополнение оказалось на месте соответствующего ему элемента:

M11;¯ = = 2, M21;¯ =  = 2, M31;¯ = = 8,

M12;¯ =  = 2, M22;¯ = = 1, M32;¯ =  = 7

M13;¯ = = 4, M23;¯ =  = 4, M33;¯ = = 18.

Например, при составлении M12;¯ мы вычёркивали вторую строку и первый столбец; затем мы приписали знак «», потому, что 2+1 нечётно. Теперь найдём определитель det A. Он равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения. Возьмём вторую строку, т.к. в ней есть ноль:

det A = a²₁M12;¯ + a²₂M22;¯ + a²₃M32;¯ = 2·(2) + (2)·(1) + 0·(7) = 2.

При составлении A^1 не забываем, что алгебраические дополнения выписываются по принципу «строчка – в столбец»:

A^1=  = .

Обязательно следует сделать проверку AA^1= E:

= = .