§5. Аффинное и евклидово точечное пространство.

Пока мы определили пространство, состоящее только из векторов. В этом параграфе у нас появятся точки, и будет установлена связь между точками и векторами.

Пусть дано некоторое множество A, элементы которого будем называть точками и обозначать большими буквами A, B, C… и некоторое векторное пространство Lⁿ. Пусть каждой упорядоченной паре точек A, B сопоставлен вектор x (пишем AB;\s\up10( –( = x) так, что выполнены следующие аксиомы:

А15.  AA и  xLⁿ ! BA ^{такая что} AB;\s\up10( –( =x.

А16. Если AB;\s\up10( –( = x, BC;\s\up10( –( = y, то AC;\s\up10( –( =x+y.

Тогда множество точек A, связанное с Lⁿ называется n-мерным аффинным пространством и обозначается A ⁿ.

Из А15 и А16 вытекают следующие следствия.

1. Каждой паре одинаковых точек сопоставляется нулевой вектор: AA;\s\up10( –( =o.

Д ействительно, пусть x=AB;\s\up10( –( – любой вектор, а y=AA;\s\up10( –( . Тогда, согласно А16: x+y=AB;\s\up10( –(  x+y=x  y=o.

2. Если AB;\s\up10( –( =x, то BA;\s\up10( –( =–x.

Д ействительно, если BA;\s\up10( –( =y, то согласно А16: AA;\s\up10( –( =x+y  x+y=o  y=–x.

Пусть O^A ⁿ– произвольная точка, а B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ. Тогда набор R ={O^, e₁, e₂,…, e_n} назовем аффинным репером, а точку O – началом координат. Иногда аффинный репер называют также аффинной системой координат.

Пусть P^A ⁿ– другая произвольная точка. Тогда вектор OP;\s\up10( –( назовем радиус-вектором точки P. Разложим этот вектор по базису:

OP;\s\up10( –( = x₁e₁+ x₂e₂ +…+ x_ne_n .

Тогда набор чисел (x₁, x₂,… x_n) называется координатами точки P в данном репере. Пишем P(x₁, x₂,… x_n)_R . Если Q(y₁, y₂,… y_n)_R – другая точка, то

OQ;\s\up10( –( = y₁e₁+ y₂e₂ +…+ y_ne_n 

PQ;\s\up10( –( = OQ;\s\up10( –( – OP;\s\up10( –( = (y₁– x₁)e₁+ (y₂ – x₂)e₂ +…+ (y_n – x_n)e_n .

Значит,

PQ;\s\up10( –((y₁– x₁, y₂ – x₂,…, y_n – x_n) . (14)

Таким образом, чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Определение. Аффинное пространство A ⁿ, связанное с евклидовым векторным пространством Eⁿ называется точечным евклидовым пространством. Будем обозначать его Eⁿ.

Определение. Система аксиом А1 – А16 называется системой аксиом Вейля n-мерного точечного евклидова пространства.

Определение. Система координат в точечном евклидовом пространстве называется ортонормированной, если задающий её базис B ={e₁, e₂,…, e_n} является ортонормированным.

Определение. Расстоянием между точками P и Q в точечном евклидовом пространстве называется модуль вектора PQ;\s\up10( –(. Это расстояние обозначим (P, Q).

Пусть в Eⁿ задана ортонормированная система координат, относительно которой P(x₁, x₂,… x_n), Q(y₁, y₂,… y_n). Тогда из формул (6) и (14) следует, что расстояние между этими точками вычисляется по формуле

(P, Q) = .

Можно сказать, что  есть функция, которая сопоставляет двум точкам P, QEⁿ число (P, Q). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. (P, Q) = (Q, P);

2. (P, Q) + (Q, R)  (P, R) (неравенство треугольника);

3. (P, Q)  0, и (P, Q) = 0  P = Q.