Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ2.doc
Скачиваний:
19
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
587.26 Кб
Скачать

§2. Базис и координаты в векторном пространстве.

Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:

А9. Существуют n линейно независимых векторов;

А10. Любые n +1 векторов линейно зависимы.

Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dim L = n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Ln.

Определение. Базисом в Ln называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Пусть B ={e1, e2,…, en} – базис в Ln, а x Ln – любой вектор. Тогда система {x, e1, e2,…, en} состоит из n +1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть

ox +1e1+ 2e2 +…+ nen = o, ()

и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно o0. Действительно, предположим противное: o= 0. Тогда среди 1, 2,…, n есть хотя бы одно ненулевое число, и мы получаем условие линейной зависимости базисных векторов:

1e1+ 2e2 +…+ nen = o.

Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.

Поэтому o0. Тогда из () получаем

x = e1+ e2 +…+ en .

Обозначим xi = –i /o, i = 1,…, n, и получим что

x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen . (2)

Определение. Выражение (2) называется разложением вектора x по базису B. Числа x1, x2,…, xn называются координатами вектора x в базисе B. Пишем: x(x1, x2,… xn)B.

Если y = y1e1+ y2e2 +…+ ynen , то

x + y = (x1+ y1)e1+ (x2 + y2)e2 +…+( xn + yn)en ,

x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Сопоставим каждому вектору x(x1, x2,… xn) столбец, составленный из его координат:

x(x1, x2,… xn)  X = , y(y1, y2,… yn)  Y = ,

x + yX +Y = , x  X = ,

Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Ln устроено точно также, как и Rn. Говорят, что Ln изоморфно Rn или, что Rn является моделью пространства Ln.

Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.

§3. Евклидово векторное пространство.

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x и y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы.  x, y, z L и R

А11. x·y= x·y;

А12. x·(y + z) = x·y+ x·z ;

А13. (xy= (x·y);

А14. x·x0 и x·x=0  x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x2=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение En означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено

А14. xL yL такой что x·y0,

то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.

Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x и y называется такое число , что cos = . Векторы x и y называются коллинеарными, если  R такое, что y = x .

В силу А14 |x| – действительное число, и |x|=0  x=o. Мы знаем, что |cos |1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

1  |x·y||x|·|y|  (x·y)2|x|2·|y|2

 (x·y)2 (x·x)(y·y) (3)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда  R y x , т.е. x + y o. Тогда согласно А14 R

(x + y)·(x + y) > 0  2(x) + 2(y) + y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной . Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

= (x·x)(y·y) – (x·y)2<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.

2 случай. x||y. Тогда  R такое, что y = x . Подставим это равенство в (3):

(x·x)2 (x·x)(x·x)  2(x·x)22(x·x)2.

Т аким образом, имеет место (3) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (3) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

|x+y||x|+|y| (4)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (1) в виде (x·y)2|x|2|y|2 получаем

|x+y|2=(x+y)·(x+y)= x2+2x·y +y2 |x|2+2|x|2·|y|2+|y|2=(|x|+|y|)2.

Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (2) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (1), т.е. когда x||y.

Определение. Векторы x и y называются ортогональными, если x·y = 0.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если yEn x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14 это равносильно x=o.

О пределение. Система векторов {e1, e2,…, ek}En называется ортонормированной, если все векторы единичные и взаимно ортогональные, т.е.  i, j = 1…k выполнено ei·ej = ij = (напомним, что ij называется символом Кронекера).

Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

1e1+ 2e2 +…+ kek = o.

Выберем произвольное i =1…k и домножим обе части равенства скалярно на e1:

(1e1+ 2e2 +…+ kek)·e1 =ei  1e1·e1 + 2e2·e1 +…+ kek·e1 = 0

Отсюда

1·1 + 2·0 +…+ k·0 = 0  1 = 0.

А налогично, домножая на 2 получим 2 = 0 и т.д. Итак, 1= 2 =…= k = 0.

В курсе алгебры доказывается следующая теорема.

Теорема. В En существует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов (без доказательства).

Пусть B ={e1, e2,…, en} – ОНБ в En, x, yEn – произвольные векторы. Пусть x(x1, x2,… xn)B , y(y1, y2,… yn)B . Тогда

x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1xiei)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1yjej ) = \s\up1(\a\vs11( n;ixi yj(ei·ej ) =\s\up1(\a\vs11( n;ixi yjij =\s\up1(\a\vs11( n;i =1 xi yi .

Итак,

x·y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn , (5)

т.е. в ОНБ формула для вычисления скалярного произведения такая же, как и в обычном геометрическом пространстве, если координаты заданы в декартовой СК.

Из этой формулы следует, что

|x|= . (6)

Примеры. 1. Пространство V3 с обычным скалярным произведением векторов: a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = |a;\s\up8(( |b;\s\up9(( cos( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) представляет собой евклидово пространство. Аксиомы А11 А14 в точности совпадают со свойствами этого произведения. Базис B ={i, j, k} представляет собой ОНБ.

2. В пространстве Rn для столбцов

X = , Y = .

определим

X·Y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn . (7)

Упражнение 1. Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11 А14.

Таким образом, Rn со скалярным произведением (7) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы

E1 = , E2 = , ..., En =

составляют ОНБ.

Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Ln векторное пространство Rn может служить его моделью. Для этого надо в Ln выбрать базис B и каждому вектору x(x1, x2,… xn)B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве En ОНБ B ={e1, e2,…, en} и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:

x(x1, x2,… xn)B X = , y(y1, y2,… yn)B Y = .

Тогда x·y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что En изоморфно евклидову векторному пространству Rn или, что евклидово векторное пространство Rn является моделью пространства En.

Пусть теперь базис B ={f1, f2,…, fn} в En не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторов x(x1, x2,… xn)B, y(y1, y2,… yn)B?

Обозначим gij = fi·fj , и из этих чисел составим матрицу

 = .

Она называется матрицей Грама базиса B . Эта матрица, очевидно, является симметрической: gji = fj·fi= fi·fj = gij . Тогда

x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1xiei)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1yjej ) = \s\up1(\a\vs11( n;ixi yj(ei·ej ) =\s\up1(\a\vs11( n;igijxi yj . (8)

Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x и y, то (8) можно переписать в матричном виде:

x·y = XТY = x1 x2 xn . (8)

Например в двумерном евклидовом пространстве эта формула выглядит так:

x·y == = g11x1y1 + g12(x1y2 + x2y1) + g22x2y2.

Если базис ортонормированный, то gij = ij и = E (единичной матрице). Отметим ещё, что для любого базиса det > 0.