§4. Преобразование координат в векторном пространстве.

Всё сказанное в этом параграфе верно для векторного пространства Lⁿ произвольной размерности. Но для облегчения восприятия этого материала мы ограничимся случаем n = 3.

Пусть в векторном пространстве L³ выбраны два произвольных базиса B = {e₁, e₂, e₃} и B= {e₁, e₂, e₃}. Пусть один и тот же вектор x в первом и втором базисе имеет соответственно координаты x(x₁, x₂, x₃)_B и x(x ₁, x ₂, x₃)_B. Требуется найти связь между этими координатами.

Для решения этой задачи нам должно быть известно, как векторы второго базиса раскладываются по первому базису:

e ₁ = c₁¹e₁ + c₁²e₂ + c₁³e₃,

e₂ = c₂¹e₁ + c₂²e₂ + c₂³e₃, (9)

e₃ = c₃¹e₁ + c₃²e₂ + c₃³e₃,

Из коэффициентов этого разложения мы составляем матрицу

C = , (10)

которая называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Пишем так: B –(;\s\up9(С B. При составлении этой матрицы мы коэффициенты из каждой строчки в записывали в соответствующий по номеру столбец. В соответствии с определением, что такое координаты, мы можем записать разложения вектора x по первому и второму базисам:

x = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ (11.1)

x = x₁ e₁ + x₂ e₂ + x₃ e₃ . (11.2)

Подставим в последнее равенство разложения (9):

x = x₁ (c₁¹e₁ + c₁²e₂ + c₁³e₃) + x₂ (c₂¹e₁ + c₂²e₂ + c₂³e₃) + x₃ (c₃¹e₁ + c₃²e₂ + c₃³e₃).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

x = (c₁¹x₁ + c₂¹x₂ + c₃¹x₃ )e₁ + (c₁² + c₂²x₂ + c₃²x₃ )e₂ + (c₁³ + c₂³x₂ + c₃³x₃ )e₃.

Сравним это выражение с (11.1). В силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x₁= c₁¹ + c₂¹x₂ + c₃¹x₃ ,

x₂ = c₁² + c₂²x₂ + c₃²x₃ , (12)

x₃ = c₁³ + c₂³x₂ + c₃³x₃ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

X = , X = .

То систему (12) можно переписать в виде одного матричного равенства:

X = CX. (12)

Эти формулы позволяют найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты во втором, т.е. они выражают «обратную связь». Для того, чтобы найти прямую связь мы из (12) выражаем

X = C^–1X, (13)

Таким образом, вторые координаты выражаются через первые по формулам

= b₁²x₁ + b₂²x₂ + b₃²x₃,

x₂ = b₁²x₁ + b₂²x₂ + b₃²x₃, (13)

x₃ = b₁³x₁ + b₂³x₂ + b₃³x₃,

где B = C ^–1, т.е. коэффициенты b_i^j берутся из матрицы, обратной к матрице перехода. Вместо того чтобы искать обратную матрицу, можно решить систему уравнений (12) относительно неизвестных x₁ , x₂ , x₃ и мы получим те же формулы (13).

Предположим теперь, что оба базиса B = {e₁, e₂, e₃} и B= {e₁, e₂, e₃} являются ортонормированными. Тогда должно выполняться

e₁² = (c₁¹)² + (c₁²)² + (c₁³)² = 1,

e₁·e₂ = c₁¹·c₂¹ + c₁²·c₂² + c₁³·c₃² = 0.

И аналогично, сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы C равна 1, а сумма произведений элементов одного столбца матрицы C на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Матрица, обладающая такими свойствами, является ортогональной, т.е. для неё выполнено C·C^T= E (это изучается в курсе алгебры). Другими словами, для ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной. Переход от одного ОНБ к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицы.