Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ2.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
17.09.2019
Размер:
587.26 Кб
Скачать

М.Н. Подоксёнов

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Часть II.

Глава 5

Аффинное и евклидово пространство.

(Электронный ресурс)

Для самостоятельной работы студентов

физического и математического факультетов

Витебск 2008

Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа

УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических

наук М.Н.Подоксенов

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов очного и заочного отделений математического факультета обучающихся по специальности «математика и информатика», «математика и физика». Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.

 Подоксенов М.Н., 2008.

 УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2008.

СОДЕРЖАНИЕ.

ГЛАВА 5. АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 4

§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов. 4

§2. Базис и координаты в векторном пространстве. 7

§3. Евклидово векторное пространство. 8

§4. Преобразование координат в векторном пространстве. 12

§5. Аффинное и евклидово точечное пространство. 14

§5. Краткий обзор геометрии пространства A4. 16

§6. Пространство Минковского M4. 19

§7. Примеры решения задач. 21

ПРИЛОЖЕНИЕ Умножение матриц. Обратная матрица. 30

Глава 5. Аффинное и евклидово пространство

Что такое геометрическое трехмерное пространство мы можем себе представить наглядно. Что такое четырехмерное пространство представить себе трудно: в окружающей нас повседневной реальности оно не существует. Цель данной главы: дать аксиоматическое определение пространства произвольной размерности. Также мы рассмотрим обзорно некоторые факты из геометрии четырехмерного пространства.

В параграфах 1, 2, 3, 4 мы коротко напомним материал из курса алгебры. Этот материал может быть использован студентами физического факультета для подготовки к экзамену по предмету «Аналитическая геометрия и высшая алгебра» или по предмету «Алгебра и геометрия». В Приложении излагаются необходимые сведения из курса алгебры про умножение матриц и обратную матрицу.

З начком отмечается окончание доказательств.

§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.

Определение. Пусть L – произвольное множество, для элементов которого заданы две операции: сложение элементов и умножение элемента на действительное число, так что x, y, z L и , R выполнено x+yL, xL (т.е. операции не выводят за пределы L), и при этом имеют место следующие аксиомы.

А1. x + y = y + x (коммутативность сложения);

A2. (x + y) + z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);

A3. o L такой что x + o = x (существование нулевого элемента);

A4.  (–x) L такой что x + (–x) = o (существование противоположного элемента);

A 5. (x + y) = x + y

A6. ( + )x = x+ x

A7. ()x = (x) ;

A8. x = x .

Тогда L вместе с данными операциями называется линейным или векторным пространством. Элементы этого пространства будем называть векторами.

Примеры. 1. Пространство V2, состоящее из всех геометрических векторов на плоскости, или V3, состоящее из всех векторов в пространстве. Тогда А1A8 представляют собой свойства операций над векторами. Эти свойства мы доказывали в главе 1.

2. Арифметическое пространство R3, элементами которого являются тройки действительных чисел, которые могут быть записаны в виде строки или столбца. Мы будем записывать эти тройки в виде столбца:

R3 = x1, x2, x3R .

Операции в R3 определяются следующим образом. Если

X = , Y = ,

то

X +Y = , X = .

Необходимо проверить, что в данном пространстве выполняются аксиомы А1 А8. Проверим, например, А5.

(X +Y ) =  = = + = X +Y.

Роль нулевого элемента и элемента, противоположного к X очевидно, играют столбцы

O = и – X = ,

т.е выполнены А3 и А4.

Упражнение. Проверьте самостоятельно, что выполняются остальные аксиомы.

Аналогично определяется арифметическое пространство Rn состоящее из столбцов высоты n .

3. Пространство Pn , которое состоит из всех многочленов с действительными коэффициентами, степени не превосходящей n:

Pn = {ao+ a1t + a2t2 +…+ ant n | ao, a1,…, anR}

с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число.

4. Пространство Co([0,1]) , которое состоит из всех функций, непрерывных на отрезке [0,1].

Можно привести ещё массу примеров. Главное – уяснить себе, что векторное пространство может состоять из совершенно любых математических объектов, которые можно складывать и умножать на число, если, конечно, выполняются А1 А8. При изучении дальнейшего материала, для простоты восприятия, можно представлять себе, что речь идет о геометрических векторах.

Из аксиом А1 А8 можно вывести следующие следствия, которые доказываются в курсе алгебры:

1) единственность нулевого элемента;

2) единственность противоположного элемента;

3) 0·x = o ;

4) –1·x = x ;

5) ·o = oxL и R.

Определение. Пусть x1, x2,…, xnL – произвольные векторы, а 1, 2,…, n – произвольные числа. Тогда выражение

1x1+ 2x2 +…+ nxn (1)

называется линейной комбинацией векторов x1, x2,…, xn. Числа 1, 2,…, n называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация (1) называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю: 1= 2 =…= n = 0. Соответственно, линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если среди её коэффициентов 1, 2,…, n есть хотя бы одно ненулевое число.

Определение. Векторы x1, x2,…, xn называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:

1x1+ 2x2 +…+ nxn = o. (2)

Соответственно векторы x1, x2,…, xn называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно только для тривиальной комбинации, т.е. когда 1= 2 =…= n = 0.

Примеры. 1. Векторы i, j, k в пространстве V3 линейно независимы, а векторы a1=i+j, a2=i+j+k, a3=k линейно зависимы, т.к. 1·a1+(–1)·a2+1·a3 =o.

2. В пространстве R3 столбцы

E1 = , E2 = , E3 =

линейно независимы. Действительно,

1E1+ 2E2 +3E3 = O  =  1= 2 =…= n = 0,

т.е. только тривиальная комбинация столбцов E1, E2, E3 может быть равна нулевому столбцу. Если к столбцам E1, E2, E3 добавить произвольный столбец X = , то получим линейно зависимую систему столбцов {E1, E2, E3, X}, т.к.

x1·E1+ x2·E2 + x3·E3 + (–1)·X = O.

3. В пространстве Pn многочлены 1, t, t2,…, t n линейно независимы. Если к ним добавить любой многочлен f(t) степени n, то получим линейно зависимую систему.

Упражнение. Самостоятельно покажите, что функции f(t)1, g(t) = cos t, h(t) = sin 2t в пространстве Co([0,1]) линейно зависимы.

Предложение 1. Векторы x1, x2,…, xk (k>1) линейно зависимы, тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть векторы x1, x2,…, xk линейно зависимы, и

1x1+ 2x2 +…+ kxk = o

их нетривиальная линейная комбинация, где, например, k0. Тогда можем выразить xk:

xk = x1+ x2 +…+ x k–1,

т.е. xk является линейной комбинацией векторов x1, x2,…, xk–1.

Обратно, если xk = 1x1+ 2x2 +…+ k–1x k–1, то

1x1+ 2x2 +…+ k–1x k–1+ (–1)xk = o,

и комбинация нетривиальная, т.к. –10.

Предложение 2. Если среди векторов x1, x2,…, xk есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Действительно, если, например, xk = o, то

x1+ …+ x k–1+ 1·xk = o,

и комбинация нетривиальная, т.к. 10.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.