Примеры
26.
Вычислить
,
где
– часть окружности
,
,
выбрав за начало
точку
.
Решение.
Запишем уравнение кривой
в виде
,
.
Тогда
,
.
Используя формулу (14), имеем:
.
27.
Вычислить
,
где
– дуга параболы
,
,
– начало кривой.
Решение. Выпишем действительную и мнимую части подинтегральной функции:
Воспользовавшись
формулой (15), имеем
.
28.
Вычислить
,
где
– квадрат с вершинами в точках 1,
,
,
(рис. 9).
Решение.
Поскольку на сторонах квадрата ABCD
выполняется равенство |Re(z)|+|Im(z)|=|x|+|y|=1,
получаем
.
Подсчитаем интеграл вдоль отрезка AB: y=1-x, 0x1, dy = – dx, Dz = dx + idy = (1– i)dx, откуда
Аналогично,
Окончательно,
4.2. Интегральная теорема Коши
ТЕОРЕМА
(Интегральная теорема Коши). Если функция
– аналитическая в односвязной области
D,
то интеграл от нее по произвольному
замкнутому жордановому кусочно-гладкому
контуру L,
целиком лежащему в области D,
равен нулю:
.
(16)
Из этой теоремы вытекает: а) если аналитична в области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. если 1 D и 2 D – две кривые, имеющие общие начало и конец, то
;
b)
если функции
и
вместе со своими производными первого
порядка аналитические в односвязной
области D,
то справедлива формула
;
;
Примеры
29.
Определить, когда для интеграла
можно применить интегральную теорему
Коши, если L:
a)
| z
| =
;
b)
| z
-
|
=
;
c)
| z
-
1|
= 4; d)
| z
| = 3.
Решение.
Подинтегральная функция
имеет особенности в точках z
= ± 2,.
Следовательно,
a)
круг
полностью входит в область аналитичности
и (16) имеет место;
b) рассуждая аналогично п. а), имеем (16);
c) в круге с центром z = 1 и радиуса 4 функция имеет особенности и не является аналитической, следовательно, теорема Коши не применима;
d) рассуждая аналогично п. с), получаем, что теорема Коши также не применима.
3
0.
Доказать, что
.
Решение.
Функция
– аналитична на всей комплексной
плоскости. Проинтегрируем
по контуру прямоугольника
,
(рис. 10). Из (16) следует, что
.
Тогда
.
Если объединить второй и четвертый интегралы, разбить третий интеграл на два и воспользоваться формулами Эйлера
,
),
то полученную сумму интегралов можно будет записать в виде
При
R
.
Таким образом,
Зная,
что
(интеграл Эйлера – Пуассона), окончательно
имеем
.
4.3. Интегральная формула Коши
Пусть
функция
аналитическая в ограниченной замкнутой
односвязной области
с кусочно-гладкой жордановой границей
L.
Тогда для любой точки
справедлива формула
.
(17)
Формула (17) называется интегральной формулой Коши. Для производной n-го порядка справедливо обобщение (17):
.
(18)
Примеры
31.
Вычислить
,
где
а)
L={z,
=1};
b)
L={z,
};
c)
L={z,
}.
Решение: а) перепишем интеграл в виде
,
функция
– аналитическая в области
,
а точка
,
тогда из (25) имеем
;
b)
в области | z | = 
подынтегральная функция
– аналитическая, поэтому из интегральной
теоремы Коши (16) имеем
;
с)
в области | z
– 1 – i
| <
лежат две точки, в которых знаменатель
обращается в ноль:
,
поэтому воспользоваться непосредственно
формулой (17) невозможно. Разложим функцию
на сумму простых дробей
.
Тогда, применяя (25) к каждому из интегралов, имеем
.
32.
Доказать, что
(
).
Решение.
Заменой
сведем интеграл
к интегралу по контуру от функции
комплексной переменной. Так как
,
воспользовавшись формулой
,
имеем
.
Разложим знаменатель на множители:
.
Точка
точка
,
таким
образом, функция
–
аналитическая в
и
из формулы (17) имеем
.
33.
Вычислить
.
Решение. Воспользовавшись (17), имеем
.
34.
Вычислить
.
Решение.
Сделав замену
и используя формулу
,
имеем
.