3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем

Определение 3. Логарифмической функцией комплексного аргумента называется функция, обратная к показательной, т.е. определяемая уравнением

, ,

и обозначаемая . Справедлива формула

, (7).

Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоскости с выколотой точкой , она бесконечнозначна и разные ее значения отличаются на , .

Каждое значение функции называется логарифмом комплексного числа .

Значение логарифма комплексного числа , , которое соответствует , называется главным значением и обозначается через :

, .

Тогда формула (7) принимает вид

, .

Определение 4. Однозначной непрерывной ветвью многозначной функции в области называется однозначная непрерывная функция , значение которой в каждой точке совпадает с одним из значений функции .

В области , которая является комплексной плоскостью с разрезом вдоль луча, выходящего из начала координат под углом к действительной оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции . Каждая из этих ветвей отображает область на одну из полос:

, .

Для выделения однозначной ветви логарифмической функции достаточно определить полосу , на которую эта ветвь отображает область . Для определения полосы достаточно вычислить лишь значение логарифмической функции в какой-нибудь точке .

Через обозначим ту ветвь логарифмической функции , которая отображает область на полосу . Тогда

, ,

где , .

Очевидно, что каждая ветвь удовлетворяет теореме о производной обратной функции, по которой

, Z, .

Отсюда, отображение, осуществляемое каждой ветвью логарифмической функции, является конформным для всех точек .

В связи с тем, что главное значение аргумента комплексного числа выбирается из промежутка , в формуле (5) берут . Тогда

, ,

а область будет плоскостью с разрезом по лучу .

Ветвь логарифмической функции, отображающая область на полосу , является главной ветвью . Все остальные однозначные непрерывные ветви функции в этой области имеют вид

, .

Значение , равное , при однократном обходе точки вокруг начала координат вдоль какой-нибудь окружности переходит в число , так, что непрерывно изменяется и обход совершается против движения часовой стрелки, и в число – при обходе по часовой стрелке.

Точка, при обходе которой по какой-нибудь окружности достаточно малого радиуса многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется точкой ветвления функции. Точки и являются точками ветвления функции .

Примеры

13. Найти все значения логарифмов следующих чисел:

1; ; ; ; ; , ; ; .

14. Решить уравнения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

15. Найти образы плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси при отображениях ветвями логарифмической функции такими, что:

а) точка переходит в точку ;

b) точка переходит в точку ;

с) точка переходит в точку .

Решение: а) полоса , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью логарифмической функции, которую найдем из условия . Имеем:

, .

Положив в этом равенстве , получим , т.е. . Отсюда условием определяется ветвь , которая согласно формуле (5) указанную область отображает на полосу:

.

Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно.

16. Найти образ области при отображении ветвью логарифмической функции , которая определяется ее значением в данной точке (при выборе ветви логарифмической функции комплексную плоскость разрезать по отрицательной части действительной оси):

a) , , ;

b) , , ;

c) , , ;

d) , , .

Решение: b) ветвь, определяемая условием , имеет вид

.

При этом отображении образом отрезка , , является луч , , а образом отрезка , , является также луч , . Образом дуги окружности , , является отрезок , . По принципу соответствия границ образом области является полуполоса , .

Пункты а), с), d) рассмотреть самостоятельно.

Определение 5. Функция , , называется целой степенной.

Она определена и однозначна на всей комплексной плоскости. Ее производная существует во всех точках плоскости, поэтому функция аналитична во всей комплексной плоскости. Очевидно, производная обращается в нуль лишь в точке . Таким образом, отображение конформно в каждой точке комплексной плоскости, кроме точки . Положив и , найдем , . Отсюда следует, что отображение каждый вектор поворачивает на угол и растягивает его в раз. Это означает, что образом луча, выходящего из начала координат, является луч, также выходящий из начала координат; образом окружности является окружность . Функция отображает взаимно-однозначно и конформно внутренность любого угла с вершиной в точке и раствора , , на внутренность угла с вершиной в точке и раствора , . При функция отображает область на плоскость с разрезом вдоль луча . Если , то область отображается на плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси.

17. Определить, какие из данных функций осуществляют взаимно-однозначное отображение заданных областей:

1) , ; 3) , ;

2) , ; 4) , .

18. Найти образы заданных множеств при отображениях :

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

Функция , обратная к функции , определена на всей комплексной плоскости, -значна при .

За область возьмем комплексную плоскость с разрезом по лучу, выходящему из начала координат под углом к положительному направлению действительной оси. В этой области существует различных ветвей

, , (6)

где , функции .

Каждая из ветвей взаимно-однозначно отображает область на один из секторов

, .

Для выделения ветви , , достаточно определить сектор , на который эта ветвь отображает область . При проведении разрезов в комплексной плоскости чаще всего берут (разрез по положительному направлению оси ), либо (разрез по отрицательной части действительной оси).

В результате однократного обхода вокруг начала координат вдоль какой-либо окружности значения , непрерывно изменяясь, переходят от ветви к ветви при обходе против часовой стрелки и к ветви при обходе по часовой стрелке. После -кратного обхода вокруг начала координат в одном направлении значение функции , переходя с одной ветви к другой, придет к исходному.

Точки и являются точками ветвления функции .

Каждая ветвь функции удовлетворяет теореме о производной обратной функции, по которой

, , ,

и поэтому осуществляет конформное отображение области на одну из областей .

19. В указанной области выделить однозначную ветвь заданной многозначной функции и найти, если необходимо, ее значение в точке:

а) в плоскости z с разрезом по положительной части действительной оси найти значение ветви функции в точке при условии ;

b) в плоскости z с разрезом по отрицательной части действительной оси найти значение ветви функции в точке при условии ;

с) выделить ветвь функции в области при условии .

Решение: а) по формуле (6)

,

где , так как . Из условия имеем

.

Отсюда и .

Таким образом, и искомая ветвь имеет вид

, ,

а ее значением в точке будет

.

Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно.

20. Найти образ:

а) верхней полуплоскости при отображении той ветвью функции , которая точку переводит в точку ;

b) нижней полуплоскости при отображении ветвью функции при условии ;

с) области при отображении ветвью функции при условии .

Решение: а) возьмем . По формуле (6)

, ,

из условия имеем . Тогда

является образом плоскости z с разрезом по положительной части действительной оси при отображении ветвью .

Итак, образом верхней полуплоскости при этом отображении будет область .

Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно.

Определение 6. Степенной функцией комплексного аргумента , , с показателем , C, называется функция, определяемая равенством .

Если не является рациональным числом, то функция бесконечнозначна. Точки и являются ее точками ветвления.

Пусть . Тогда

, Z,

и

, Z.

Беря все возможные значения , получим все ветви этой функции в области .

Производная каждой ветви функции определяется по формуле

, Z

и существует во всех точках области . Это означает, что каждая ветвь функции аналитична во всех точках области .

Определение 7. Показательная функция определяется равенством

, .

Рассматривая все возможные значения , получим все ветви функции . Чтобы получить отдельную ветвь, достаточно фиксировать одно из значений . Многозначная функция не имеет точек разветвления и ее ветви не могут непрерывно переходить одна в другую. Все ветви показательной функции являются аналитичными на всей комплексной плоскости, и имеет место формула

.