§3. Краткое описание процедуры аналитически-численного метода

Аналитическая часть.

Основываясь на представлении и преследуя цель формирования выражения для коэффициентов и их вычисления. С учетом сделанного замечания относительно перемножения сингулярных составляющих предположим для простоты, что в Н(х) есть только произведения регулярных составляющих.

Искомое решение подставляем в Н(х) уравнения :, гдеT(t) – матрица тождественно заменившая Н(х), в которой все нелинейности унифицировано описаны по целым степеням времениt. В результате этой подстановки (1) тождественно преобразовано в (6), а матрица Н(х) тождественно замененаT(t); и уравнение (1) и (6) нелинейные, интегрально-дифференциальные.

Если привести все нелинейности к нелинейности по времени, это дает возможность преобразовать их по Лапласу.

Преобразовав (6) по Лапласу получим: , где А(р),G(p) – матрицы полученные из исходных заменой операторов дифференцирования и интегрирования.

Х(р) – вектор изображений искомых переменных

F(p) – вектор изображений известных воздействий

Q(p) – матрица-столбец предначальных условий

Т(р) – матрица-столбец, полученная путем замены

С(р) – приведенная правая часть

В итоге такого преобразования исходное нелинейное интегрально-дифференциальное уравнение (1), составленное относительно искомых временных функций x(t), тождественно преобразовано к линейному алгебраическому уравнению (7), записанному относительно изображений Х(р).

Решение уравнения (7).

Уравнение (7) тождественно уравнению (1), но при этом оно принципиально заключает в себе искомое решение в виде рядов и, следовательно, это уравнение может быть решено только приближенно.

(8)

Получено изображение точного решения. Если перевести его во временную область, то мы получим точное решение уравнения (1). Однако это решение существует в форме ряда.

2 проблемы:

Выражение (8) распадается на 2 части: изображение сингулярной составляющей, оно существует только в те моменты времени, когда в решении есть разрывы первого рода и они дифференцированы – это изображение конечного числа дельта-функций различных порядков, поэтому нет вопроса о существовании и единственности оригинала. Вторая часть – изображение регулярной составляющей, вопрос о существовании и единственности есть. Должны доказать, что это решение является рядом Тейлора, существует и единственно.

Формулировка условий существования и единственности регулярных составляющих решения обыкновенных нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений.

Условия существования решений.

Полагаем, что решение разложимо в ряд Тейлора.

Ряд (9) сходится равномерно и абсолютно, если

Решение может быть разложено в ряд Тейлора, который сходится равномерно и абсолютно.

Согласно признаку Вейерштрасса, абсолютная равномерная сходимость ряда (9) на t>0 следует из сходимости его числовой мажоранги.

1) Если последовательность такова, что среди них есть максимум , то

Если числовой ряд в правой части (14) сходится при всех , то согласно признаку сравнения числовых рядов ряд (9) также сходится. Если среди коэффициентов есть максимум, то существует регулярная составляющая и она может быть представлена в виде ряда Тейлора.

3) Если при образован максимум, то

Числовой ряд в правой части (15) сходится при выбранном , согласно признаку сравнения числовых рядов, числовой ряд (9) также сходится. Таким образом, если подбором величинысреди коэффициентов удалось образовать максимум, то существует регулярная составляющая и она может быть описана рядом Тейлора.

Решение справедливо только для одного l, поэтому это исследование надо проводить для всех скалярных составляющихx(t), получить для них, выбрать из них минимальный и в пределах этого значения будут справедливы последующие действия.

Доказательство единственности.

Разложение в ряд Тейлора единственно. Если в результате аналитической части метода получено несколько изображений регулярных составляющих с различными коэффициентами, то исследование существования проводится для каждого из них. Ответ на вопрос о единственности заключается в том, что мы проверяем все полученные. Других аналитических решений поставленной задачи не существует.

Численная часть метода.

В численной части метода, построив сингулярную составляющую, необходимо далее: во-первых ограничить ряд, описывающий регулярную составляющую, полиномом Тейлора порядка ; во-вторых сделать шаг, определить приближенное решениеи в замкнутой форме оценить его по отношению к известному.

Построим минимальную оценку, исследовав комбинации среди приведенных коэффициентов.

1. Если есть максимум , то тогда справедливо:

Точное решение заключается в промежутке:

2) Существует максимум , то верхняя оценка:

3) Существует максимум , то верхняя оценка:

Если ни одна из оценок не подходит, то решение неустойчивое.