§2. Краткое описание аналитически-численного метода решения в обобщенных функциях и функционально-степенных рядах обыкновенных нелинейных интегрально дифференциальных уравнений.

Выделение класса моделей.

В общем случае нелинейная цепь описывается нелинейными интегрально дифференциальными уравнениями Кирхгофа, которые могут быть обобщены и сведены к одному вида:

Уравнение (1) описывает все без исключения нелинейные цепи с сосредоточенными параметрами, т.е. уравнение (1) обыкновенная производная. В уравнении (1) D,D^-1– операторы обобщенного дифференцирования и интегрирования;A(D),G(D) – матрицы коэффициентов, содержащие описание нелинейных характеристик элементов цепи;x(t),f(t) – векторы искомых переменных и воздействий;H(x,f,t) – матрица-столбец, содержащая описание всех нелинейностей.

где:

L– порядокA(D)

N_u.v, V_u – целые числа

- коэффициенты

u– номер строки

Модели, которые описываются (1) и формулами (2)(3) назовем кусочно-степенными. Под кусочно-степенной моделью будем понимать справедливые во временных интервалах уравнения (1) дополненные формулами (2), при составлении которых нелинейности описаны формулой (3).

Если (1) составлено так, что Н(х)=const, то это кусочно-линейная модель. Если уравнение (1) разрешено относительно старших операторовDⁿпо всем координатамx(t), то такую модель назовем нелинейной с выделенной линейной частью. Модели не разрешенные относительно старших производных хотя бы по одной координате назовем нелинейными моделями с невыделенной линейной частью.

Выделение класса решений.

Процессы, которые протекают в динамических цепях обладают следующими особенностями:

1. Наблюдаемы и регистрируемы

2. Характеризуют разрывы первого рода

3. Разрывы второго рода для реакций

4. Интервалами быстрого и медленного изменения реакции

5. Полубесконечными интервалами неустойчивости решения

Решение необходимо писать в виде обобщенных функций:

Сингулярная составляющая представляет собой конечную сумму дельта функций различных порядков с различными весовыми коэффициентами и в других представлениях не нуждается.

Регулярная составляющая должна быть аналитической функцией и для дальнейших построений нуждается в унификации своего представления, поскольку мы хотим построить универсальный метод для решения (1).

Требования к регулярной составляющей:

1. Приводить любое в рамках (3) описание нелинейной части к единому пригодному для дальнейших преобразований виду

2. Выявлять особые точки

3. Описывать приближенное решение определенным образом и в замкнутой форме соотноситься с неизвестным точным решением

4. Желательно также, чтобы это унифицированное представление регулярной составляющей было не только формальным, но и содержательным

Приведенным пунктам удовлетворяет представление функции в форме ряда Тейлора:

1. Подстановка этого искомого решения в нелинейную часть Н(х) изменяет произвольное описание этой нелинейной части на вполне определенное и унифицированное, а именно на нелинейность по целым степеням t.

2. Если функция описана рядом Тейлора, то можно вычислить радиус сходимости этого ряда и, следовательно, определить положение особой точки, где решение теряет аналитичность

3. Заменяя на практике ряд Тейлора полиномом можно записать их разность (погрешность) и далее разработать способы оценки этой погрешности сверху и управлять ее величиной, таким образом можно неограниченно устремлять приближенное решение к точному.

Для уравнения (1) при наложенных на него ограничениях (2)(3) будем отыскивать решение в форме (4), представляя его в виде:

Следовательно необходимо сформировать метод, который позволит, задавшись решением в форме (5) с неизвестными , и подставив это решение в (1) решить его, отыскав в итоге эти неизвестные коэффициенты.

Замечания:

1. При подстановке искомых решений в Н(х) с целью приведения ее к унифицированному виду необходимо принять во внимание, что правила перемножения обобщенных функций не определены

2. При решении поставленной задачи всегда должны быть известны предначальные условия. Начальные же значения – тейлоровы коэффициенты.