7.2.1 Алгоритм ручного рахунку по неявній різницевій схемі

1. Обчислити коефіцієнт температуропровідності

2. Вибрати число поділу відрізка : .

3. Обчислити крок розбиття відрізка

4. При заданому вибрати крок по часу та розрахувати їх кількість m.

5. Обчислити коефіцієнт

6. Покрити область різницевою сіткою з кроками h і .

7. Користуючись початковою умовою, обчислити

8. Користуючись граничними умовами, обчислити

9. Записати неявну різницеву схему задачі, для кожного часового шару

а) в результаті прямого ходу, обчислити прогоночні коефіцієнти

б) в результаті зворотного ходу обчислити значення температури

8. Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності

8.1 Деякі позначення

8.2 Різні сімейства різницевих схем для рівняння теплопровідності

На даний час ми розглянули дві різницевих схеми: явну і неявну. Розглянемо інші різницеві схеми для рівняння теплопровідності

(8.1)

Розглянемо шеститочковий шаблон (рис. 8.1)

i-1,k+1 i,k+1 i+1,k+1

i-1,k i,k i+1,k

Рис. 8.1.

8.2.1 Різнецева схема Кранка-Ніколсона

Шеститочковою симетричною різницевою схемою для рівняння теплопровідності (8.5) називається різницева схема

(8.2)

Дану різницеву схему отримаємо з таких міркувань:

В розгорнотому вигляді дана різницева схема представляється:

(8.3)

Дану різницеву схему на шеститочковому шаблоні для рівняння теплопровідності називають ще схемою Кранка-Ніколсона. Значення на шарі знаходиться методом прогонки. Дане рівняння в прогоночному вигляді є наступним:

, (8.4)

де коефіцієнти знаходяться із формули (8.3).

;

Розв’язок знаходиться методом прогонки

,

де

Для даної схеми початкові та граничні умови і їх апроксимація задається як і раніше (дивись неявну різницеву схему).

Можна довести, що ця схема має другий порядок апроксимації, як по так і по , якщо тільки . Вона абсолютно стійка і її розв’язок можна отримати методом прогонки.

8.2.2 Різнецева схема з вагами

Узагальнення трьох розглянутих різницевих схем є однопараметрична сім’я різницевих схем з вагами. З цією метою задамо довільний дійсний параметр і визначимо різницеву схему для рівняння (8.1).

(8.5)

В залежності від значення , отримаємо такі випадки:

1. При для (8.5) маємо явну різницеву схему, порядок апроксимації якої ;

2. При для (8.5) маємо чисто неявну різницеву схему, порядок апроксимації якої ;

3. При для (8.5) маємо шеститочкову симетричну різницеву схему, порядок апроксимації якої ;

4. При ;

де - задає початкову умову.

5. Для інших порядок апроксимації рівний .

8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами

До цього часу ми розглядали різницеві схеми для рівняння теплопровідності з сталими коефіцієнтами (коли матеріал стержня був однорідний).

Однак, на практиці зустрічаються задачі, коли матеріал стержнів є неоднорідний. В цьому випадку він володіє різними теплофізичними властивостями в кожній точці і в кожний момент часу.

Розглянемо постановку 1-ї крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності типу із змінними коефіцієнтами:

, (8.6)

, (8.7)

, (8.8)

, (8.9)

де - густина стержня; - коефіцієнт теплопровідності.

Нехай - досить гладкі функції, тобто мають похідні потрібних порядків по всіх змінних.

Для отримання різницевої схеми задачі (8.6)-(8.9), апроксимуємо . Його різницевим аналогом є

(*)

- різницевий коефіцієнт теплопровідності, який задається умовами другого порядку апроксимації, а саме:

(8.10)

Для знаходження використаємо одне із співвідношень:

, (8.11)

, (8.12)

(8.13)

Тоді для задачі (8.11)-(8.14) різницева схема з вагами матиме вигляд

Різницевий оператор має вигляд (*).

Висновки:

1. При маємо явну різницеву схему, тобто , яка легко розв’язується.

2. При маємо неявну різницеву схему, тобто , яка має порядок апроксимації .

3. При і отримаємо шеститочкову різницеву схему, яка має порядок апроксимації .

4. Для всіх інших отримаємо різницеву схему з вагами, яка має порядок апроксимації .

Для дослідження стійкості різницевої схеми із змінними коефіцієнтами застосовується так званий принцип “заморожених коефіцієнтів”.

В другому, третьому та четвертому випадку для (8.14) –(8.16) різницева схема отримується неявною і її розв’язок знаходиться методом прогонки. Для застосування методу прогонки, рівняння (8.14) потрібно представити в прогоночному вигляді. Для простоти отримаємо ці коефіцієнти при . Тоді рівняння (8.14) запишеться так

(8.17)

(8.18)

(8.19)

(8.20)

де ,

Інші коефіцієнти аналогічні попереднім (дивись неявну різницеву схему).