12. Різницеві методи чисельного розв’язання багатовимірних задач математичної фізики. Різницева схема з вагами для двовимірного рівняння параболічного типу

Основні терміни і поняття:

12.1 Постановка задачі

Нехай в області , що являє собою прямокутник з сторонами ℓ1 та ℓ2, межею Г на проміжку часу [0,T].

Розглянемо першу крайову задачу для двовимірного рівняння теплопровідності:

,(x1,x2,t) є Ω (12.1)

(12.2)

, 0<t≤T (12.3)

(12.3')

В курсі математичної фізики доводиться, що сформульована перша крайова задача (12.1)-(12.3) поставлена коректно для достатньо гладких крайових умов (12.1)-(12.3).

12.2 Різницева схема задачі (12.1)-(12.3)

Для побудови РС задачі (12.1)-(12.3) введемо різницеву сітку таким чином:

1.Просторову сітку

l2

Множину внутрішніх вузлів сітки в Ω ( ) позначимо через ω і назвемо внутрішніми вузлами просторової сітки ω . А множину вузлів сітки Ω є Г називають межовими вузлами сітки і позначають через γ . Отже Ω

Оператор Лапласа в (1) апроксимуємо на п’ятиточковому шаблоні "хрест" п’ятиточковим різницевим оператором, використавши позначення

Визначимо на Ω різницевий оператор

На введеній вище просторовій різницевій сітці позначимо апроксимуємо задачу (12.1)-(12.3) різницевою задачею, в результаті чого отримаємо, по аналогії з одновимірним випадком, так звану різницеву схему з вагами:

(12.4)

(12.5)

(12.6)

Різницева схема (12.4)-(12.6) називається різницевою схемою з вагами .

Для одновимірного рівняння теплопровідності аналогічна схема з вагами мала вигляд:

(12.7)

Умова стійкості даної схеми мала вигляд σ ≥ ½-¼γ.

Проведемо аналіз різницевої схеми (12.4)-(12.6)

1. При σ =0 отримаємо явну РС в двовимірному випадку, а саме (12.8)

(12.9)

(12.10)

З (12.8) легко отримаємо

(12.8')

Звідки отримаємо

i=1,n-1, k=1,k ,j=1,m-1 (12.8")

2. При σ0, схема (12.4)-(12.6)- неявна і для знаходження U на (К+1) шарі потрібно розв’язати систему двовимірних різницевих рівнянь. Ця схема, в силу побудови має порядок апроксимації 0(h²+τ). При

3. При σ =0.5- дана РС має порядок апроксимації 0(h²+τ²).

3.Стійкість РС.

Розглянемо лише стійкість РС (12.4)-(12.6) на початкових даних. Дослідження стійкості проводиться, по аналогії, як і у одновимірному випадку за допомогою методу розділення змінних. В теорії РС показується (див. Самарський), що РС навіть більш загальний вигляду ніж (12.4)-(12.6) стійка по почат. Даних, якщо ваговий множник σ задовольняє умова:

(12.9)

τ-крок по часу

λ_max- це максимальне значення власне значення верхньої межі спектра оператора А. Для оператора А власне значення у даному випадку має вигляд:

(12.10)

l1 – розмір прямокутника по x1

l2 – розмір прямокутника по x2

Можна показати, що

Тому умова стійкості (12.9) буде виконана, якщо ваговий множник σ задовільняє умову:

; (аналог умови Куранта) (12.11)

Аналогічно досліджується стійкість даної РС по правій частині та її збіжність.

Якщо σ =0.5, то РС (12.4)-(12.6) має другий порядок точності по τ і по h, при решті σ –перший порядок точності по τ і другий по h.

У випадку квадратної різницевої сітки умова стійкості (12.11) приймає вигляд:

(12.12)

У випадку явної РС (σ=0) для квадратної сітки умова стійкості набуває вигляду:

(12.13)

Зауваження: в одновимірному випадку умова стійкості має вигляд

Ця умова ще більш жорсткіша, ніж в одновимірному випадку.

Як ми бачили, у випадку σ 0, ми отримали неявну РС і для її розв’язання потрібно було розв’язувати систему двовимірних різницевих рівнянь.

Чисто неявна РС характерна тим, що кожне різницеве рівняння такої схеми, як правило, зв’язує 5 невідомих. Матриця такої системи має смужкову структуру. Крім того, дану систему необхідно розв’язувати багатократно, на кожному часовому шарі. Розв’язок таких систем представляє значні труднощі через великий розмір системи і звичайні методи розв’язання СЛПР тут не підходить.

Тому в теорії РС різними шкалами були розроблені так звані економічні методи побудови і розв’зання РС.