- •4. Методи розв’язування задач для рівнянь в частинних похідних
- •5. Суть методу скінченних різниць (сіток). Елементарні відомості з теорії різницевих схем
- •5.1 Ідея методу скінченних різниць (сіток)
- •5.2 Елементарні поняття з теорії різницевих схем
- •6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу
- •6.1 Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)
- •6.2 Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона
- •6.3 Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8)
- •6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле
- •6.5 Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки
- •7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності
- •7.1 Явна різницева схема
- •7.1.1 Алгоритм ручного рахунку
- •7.2 Неявна різницева схема
- •7.2.1 Алгоритм ручного рахунку по неявній різницевій схемі
- •8.2.2 Різнецева схема з вагами
- •8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами
- •8.4 Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності
- •9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні
- •9.1 Вступ
- •9.2 Монотонна рс для звичайного диф. Рівняння другого порядку, що містить першу похідну
- •9.3 Монотонна різницева схема для параболічного рівняння
- •10. Інтегро-інтерполяційний метод побудови рс
- •10.1 Вступ. Методи побудови рс
- •10.2 Приклади побудови рс інтегро-інтерполяційним методом
- •11. Різницеві схеми для рівнянь гіперболічного типу
- •11.1 Постановка задачі
- •11.2 Рс задачі.
- •12. Різницеві методи чисельного розв’язання багатовимірних задач математичної фізики. Різницева схема з вагами для двовимірного рівняння параболічного типу
- •12.1 Постановка задачі
- •12.2 Різницева схема задачі (12.1)-(12.3)
- •13. Економічні методи розв’язання крайових задач мат. Фізики
- •13.1 Вступ
- •13.2 Постановка задачі
- •Метод змінних напрямків
- •13.2 Стійкість поздовжньо-поперечної рс
- •14. Загальні відомості з теорії стійкості рс
- •14.1 Канонічний вигляд двохшарових рс
- •14.2 Теорема про стійкість по початкових даних
- •14.3 Сумарна апроксимація
- •14.4 Локально-одновимірна схема Самарського о.А.
- •15. Основи методу скінченних елементів чисельного розв’язування крайових задач математичної фізики
- •15.1 Вступ
- •15.2 Основна концепція мсе
- •15.3 Переваги і недоліки мсе
- •15.4 Математичні основи методу мсе
- •15.4.1. Постановка задачі.
- •15.4.2. Апроксимація базисними функціями.
- •15.4.3. Вибір параметрів .
- •1 5.4.4 Апроксимація за допомогою зважених нев’язок.
- •16. Кусково-визначені базисні функції і мсе
- •16.1 Поняття скінченого елемента
7.1.1 Алгоритм ручного рахунку
Обчислити коефіцієнт температуропроводності .
Вибрати число поділу відрізка .
Обчислити розбиття відрізка .
Користуючись умовою стійкості (14) обчислити крок по поклавши .
При заданому обчислити кількість кроків по часу .
Покрити область прямокутною сіткою з кроками h і .
Користуючись початковою умовою обчислити (обчислити температуру на нижній основі прямокутної області).
Використовуючи граничні умови обчислити , де - температура на лівій межі, а - температура на правій межі.
Використовуючи MS Excel обчислити по явній різницевій схемі по функції (15) чи (16).
Обчислити розподіл температури у вузлах сітки.
Результати числових розрахунків занести в таблицю. Побудувати сімейство графіків.
7.2 Неявна різницева схема
Розглянемо неявну різницеву схему для І-ї крайової задачі для рівняння теплопровідності.
Як вже зазначалося, явна різницева схема досить проста для розуміння, але володіє істотними недоліками по відношенню до стійкості і при чисельних розрахунках прикладних задач в даний час майже не використовується спеціалістами.
По відношенню до стійкості, явну різницеву схему називають умовно стійкою, оскільки вона стійка при певному обмеженні на відношення просторово-часових кроків h і а саме: де В той же час, неявна різницева схема вільна від таких обмежень.
Як вже відмічалось раніше, неявну різницеву схему отримують шляхом апроксимації (заміни) похідної лівостороньою скінченою різницею по відношенню до вузла ( ), де апроксимують тільки на шарі, тобто шаблон неявної різницевої схеми має вигляд літери “Т” (рис.2.). Отже,
після апроксимації похідних , і підставляючи їх в рівняння теплопровідності (7.2), апроксимуючи початкові і граничні умови (7.4) отримаємо неявну різницеву схему
В теорії різницевих схем доведено, що дана неявна різницева схема (7.17) - (7.19) є стійкою при будь-яких кроках h і і називається абсолютно стійкою. Порядок її апроксимації , тобто 1-й по і 2-й – по h. Розв’язок даної різницевої схеми знаходиться послідовним обчисленням температури на часових шарах, починаючи з першого ( ). При цьому розв’язок на кожному часовому шарі знаходять методом прогонки, який є однією з модифікацій методу Гаусса розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь. В (7.17) невідомою є температура на шарі, і відомою на k-му шарі. Для цього приведемо схему (7.19) до так званого прогоночного вигляду:
де
Різницева схема (7.20)-(7.21) називається неявною різницевою схемою.
Розглянемо спеціальні методи розв’язання систем з трьохдіагональною матрицею. Цей метод називається методом прогонки. Тут - прогоночні коефіцієнти обчислені на часовому шарі .
(7.22)
Згідно цього методу розв’язок даної різницевої схеми пов’язаний з розв’язком СЛАР і набагато складніший, ніж розв’язок явної різницевої схеми, але якщо розглянути (7.20) неважко показати, що матриця буде трьохдіагональною. І розв’язок будемо шукати у вигляді
. (7.23)
Справа в тому, що на кожному часовому шарі доводиться виконувати свою прогонку, тобто розв’язувати СЛАР на кожному шарі по часу. Підставивши (7.23) в (7.20), отримаємо:
,
звідси отримаємо
.
Остання рівність можлива лише в тому випадку, коли
,
Звідки легко знаходимо прогоночні коефіцієнти
Формули (7.22) є рекурентними. Щоб обчислити значення прогоночних коефіцієнтів користуючись формулами (7.22), потрібно мати значення коефіцієнтів , які легко знаходяться із граничних умов (7.21). Використовуючи (7.23) і (7.21) маємо
Таким чином розв’язок неявної різницевої схеми (7.20)-(7.21) використовує метод прогонки і він дає формули (7.22), (7.23), (7.25). Для інших краєвих задач розв’язок дається формулами (7.22), (7.23), але інші. Тобто маємо
,
Прогоночні коефіцієнти обчислюються в результаті прямого ходу прогонки. В результаті зворотного ходу прогонки, обчислюємо по формулі (7.23) в кожній точці стержня на даному часовому шарі (в певний момент часу).
Зауваження 1. На кінцях стержня можуть задаватися різні граничні умови (І-ІІІ роду).
В зв’язку з цим неявна різницева схема (7.20) – (7.22) в більш загальному вигляді запишеться так:
де коефіцієнти 1, 2, , визначаються тим чи іншим чином в залежності від задання граничних умов І роду, коли задано розподіл температури на кінцях стержня
маємо
для граничних умов ІІ роду, коли на кінцях стержня задано теплові потоки,
(7.28)
маємо
(7.29)
Якщо співставити (7.27) і (7.28), то про гоночні коефіцієнти
(7.30)
Ці формули справедливі для задання будь-яких граничних умов.
для граничних умов ІІІ роду, тобто коли наявний теплообмін між стержнем і навколишнім середовищем
де - температура оточуючого середовища, маємо
(7.31)
Прогоночні коефіцієнти для всіх випадків граничних умов, обчислюються за формулами (7.23), причому
(7.32)
У випадку задання граничної умови ІІ або ІІІ роду на правому кінці стержня для проведення прогонки по формулах (7.22) потрібно знайти температуру . З формул (7.22) і (7.20), (7.27) маємо
Звідки знаходимо :
(7.32)
Зауваження 2. З теорії відомо, що для можливості застосування методу прогонки, достатньо, щоб виконувались умови