9.3 Монотонна різницева схема для параболічного рівняння

Побудуємо монотонну РС для рівняння пораб. типу

(9.24)

Замінимо різницевими аналогами:

Дана схема має апроксимацію О(h²+τ). Щоб показати монотонність, запишемо її в прогоночному вигляді:

Запишемо дану схему в канонічному вигляді:

Умови монотонності виконуються.

10. Інтегро-інтерполяційний метод побудови рс

10.1 Вступ. Методи побудови рс

В основному склалося три основні способи побудови РС на заданому шаблоні :

1.Метод різницевої апроксимації (той, що ми розлядали до сих пір) ;

2.Метод невизначених коефіцієнтів;

3.Інтегро-інтерпаляційний метод (метод балансу);

1. Метод різницевої апроксимації полягає в тому, що кожна похідна, що входить в диференціальне рівняння і крайові умови замінюється певним різницевим виразом (включаючи лише вузли шаблону). Саме так були отримані всі розглянуті нами вище різницеві схеми. Цей метод досить простий і додаткових пояснень не потребує.

Метод різницевої апроксимації дозволяє легко складати РС першого чи другого порядку апроксимації на прямокутній сітці для рівнянь з неперервними і достатньо гладкими коефіцієнтами. Однак цей метод важко чи неможливо застосувати в більш складних випадках, а саме для рівнянь з розривними коефіцієнтами, на прямокутних сітках, для рівнянь високого порядку, на нерівномірних сітках і т. д.

Приклад: маємо стержень, що складається з неоднорідного матеріалу(наполовину сталь, наполовину мідь).

2. Метод невизначених коефіцієнтів полягає в тому, що в якості РС беруть лінійну комбінацію значень різницевого розв’язку у вузлах шаблону. Коефіцієнти цієї лінійної комбінації вимагають умови, щоб нев’язка схема мала як можна більш високий порядок малості відносно  і h.

3.Інтегро-інтерпаляційний метод, один з варіантів якого називається методом балансу. Він найбільш надійний і застосовується у всіх випадках. В цьому методі після вибору шаблону область G розбивається на комірки певним чином зв’язані з шаблоном.

Диференціальне рівняння інтегрують по комірці і використовуючи формули векторного аналізу, приводять до інтегральної форми, що відповідає фізичному закону збереження. Наближено обчислюючи отримані інтеграли, за  квадратурними формулами, складають РС.

Інтегро-інтерполяційний метод особливо корисний для рівнянь з негладкими, або розривними коефіцієнтами. Оскільки саме інтегральний метод запису законів збереження виділяє із всіх математично-допустимих розв’язків, таких рівнянь, фізично правильний узагальнений розв’язок. При побудові РС інтегро-інтерполяційним методом, застосовують методи інтерполяції інтегрального співвідношення, записаного відносно елементарної комірки сітки. Змінюючи інтерполяцію шуканого розв’язку і коефіцієнтів рівняння, можна отримати різні інтерполяційні схеми.

ІІМ дозволяє будувати однорідні РС на скрізному рахунку, тобто такі РС, коефіцієнти яких обчислюється у всіх вузлах довільної сітки для будь-якої задачі із даного класу за одними і тими ж формулами. Це особливо важливо при розгляді крайових задач із розривними коефіцієнтами і таких крайових задач, в яких нерегулярність РС має різницеве походження, наприклад, за рахунок апроксимації розв’язку в граничних точках.

РС, що виражають на сітці закони збереження називаються консервативними схемами. Крім того, при побудові РС повинні виконуватись не лише різницеві аналоги основних законів збереження, але й всі співвідношення, які диктуються фізичними законами даної задачі. В цьому випадку схеми називаються повністю консервативними. Повністю консервативні РС дозволяють вести розрахунки на порівняно грубих сітках .