13. Економічні методи розв’язання крайових задач мат. Фізики

Основні терміни і поняття: Економічні методи, метод змінних напрямків (Пісьмена-Речфорда), поздовжньо-поперечна схема, локально-одновимірна схема Самарського (ЛОС), метод дробових кроків, сумарна апроксимація.

13.1 Вступ

В зв’язку із труднощами при розв’язуванні неявної РС для багатовимірного рівняння параболічного типу, різними науковими школами, які працювали в галузі прикладної математики, були запропоновані і розвинуті більш ефективні економічні методи розв’язання для еволюційних крайових задач математичної фізики.

Економічні методи чисельного розв’язування багатовимірних крайових задач математичної фізики базуються на зведенні багатовимірної задачі до послідовності одновимірних задач. При такому зведенні розроблено обчислювальні алгоритми, які поєднують в собі простоту явної схеми і абсолютну стійкість, яку забезпечує неявна схема.

Починаючи з 50-х років XX ст. ці методи під різними назвами широко застосовувались для розв’ування багатовимірних задач математичної фізики, а саме:

- метод змінних напрямків (Пісьмен, Речфорд)

- метод дробових кроків (Яненко)

- розщеплення (Марчук)

- Локально-одновимірна схема (ЛОС) (Самарський)

13.2 Постановка задачі

Нехай в області , що являє собою прямокутник з сторонами ℓ1 та ℓ2, межею Г на проміжку часу [0,T].

Розглянемо першу крайову задачу для двовимірного рівняння теплопровідності:

,(x1,x2,t) є Ω (13.1)

(13.2)

, 0<t≤T (13.3)

(13.3')

В курсі математичної фізики доводиться, що сформульована перша крайова задача (13.1)-(13.3) поставлена коректно для достатньо гладких крайових умов (13.1)-(13.3).

3. Метод змінних напрямків

Цей метод запропонований в 1955р Д. Пісьменом і Г. Речфордом. Він належить до невеликого числа алгоритмічних винаходів, які здійснили суттєвий вплив на чисельне розв’язування крайових задач математичної фізики. В даний час ця конструкція використовується також. В результаті даного методу отримується поздовжньо-поперечна РС Пісьмена-Речфорда.

Суть обчислювального алгоритму цієї схеми виглядає так:

1. Область Ω покривається сіткою аналогічно попередньому методу, з тією різницею що вводиться різницева сітка на півкроках по часу.

2. Розв’язок шукається у вигляді сіткової функції U в просторово-часовій дискретній області Ω

3. Крок по часу τ ділиться дві частини: (τ1 + τ2) = τ (вони можуть бути не однакові).

4. На першому часовому шарі τ/2 друга похідна в рівнянні по х1 апроксимується на проміжному році k+½ по неявній схемі.

Інша друга похідна, яка входить в рівняння апроксимується на часовому шарі К по явній схемі. А на цілому шарі по часу (k+1) навпаки, друга похідна по х1 апроксимується явно, а друга похідна по х2 – неявно.

Математично, описаний алгоритм зводиться до наступного: РС, що апроксимує крайову задачу (13.1)-(13.3) має вигляд (13.4), (13.5)

(13.4)

(13.5)

Λ1, Λ2 – різнецеві оператори, що апроксимують другі похідні по x:

,

Рівняння (13.4), (13.5) являють собою основні рівняння поздовжньо-поперечної схеми. З (13.4)(13.6), тобто рівняння в прогоночному вигляді

(13.6)

де i=1,n-1 , j=1,m-1

Рівняння (13.4), (13.5) є неявними лише по змінній х1 (рівняння (13.4)) і по змінній х2 (рівняння (13.5)). Тоді розв’язком (13.6) з заміною a1, b1, c1 буде

(13.8)

де , (13.9)

В результаті прямого ходу поздовжньої прогонки обчислюється , а в результаті зворотнього – . Кількість кроків поздовжньої прогонки – m-1. Однак значення не є наближеними значеннями функції на цьому півшарі, воно є допоміжним для знаходження на цілих шарах по часу.

Кожна з наведених систем лінійних рівнянь (13.4), (13.5) об’єднує невідомі, що лежать на одній горизонтальній лінії. Крім того кожна з цих систем характеризує трьохдіанальну матрицю і розв’язується з використанням “прогонки”. Ціна операції на одну прогонку для одного рівняння системи (13.4) 0(n)=p*n, 0(n,m)-на n-тому кроці

називається проміжною сітковою функцією

Аналогічно, на другому півкроці по часу, але система (13.5) розчіплюється на незалежні підсистеми, що об’єднують змінні на одній вертикалі. Ціна операції для розв’язання такої системи 0(n,m).

Таким чином, алгоритм методу змінних напрямків - економічний, тобто число операцій пропозиційне числу невідомих . Далі, на другому півкроці по часу маємо з (13.5) (13.10):

(13.10)

Розв’язок (13.10) має вигляд: (13.11)

де (13.12)

Для проведення прогонки використаємо початкові граничні умови

3.Граничні значення для проміжних значень отримаємо віднявши від (13.11) (13.10). Маємо:

(13.18)

(13.19)

(13.20)

(13.21)