§4.7 Параметрический синтез систем автоматического управления

Промышленные регуляторы реализуют обычно типовые законы регулирования и имеют органы настройки, с помощью которых можно в определенных пределах менять значения параметров настройки, т.е. коэффициентов уравнения, определяющие закон регулирования.

В практике проектирования и эксплуатации систем управления широко используют так называемые инженерные методы выбора и расчета настроек промышленных регуляторов. Эти методы, доведенные до конкретных рекомендаций (в виде формул, номограмм, графиков), позволяют по доступной информации об объекте выбрать тип и параметры настройки регулятора.

Рассмотренные выше методы (§§4.3;4.4;4.5) решают в первом приближении и задачи определения параметров настройки регуляторов для объектов с запаздыванием и без запаздывания.

Особенность параметрического синтеза заключается в том, что он является завершающим этапом синтеза системы управления, при выполнении которого необходимо учитывать всю совокупность требований к поведению САУ.

Задача параметрического синтеза может формулироваться в виде ограничений на показатели качества и параметры системы или иметь оптимизационную постановку, при которой показатели качества должны иметь экстремальное значение.

При решении задачи параметрического синтеза с заданными ограничениями на показатели качества

;

и параметры системы

;

ищется подмножество из допустимой области А значений параметров, при которых удовлетворяются ограничения на показатели качества. Такая задача может не иметь ни одного решения, иметь единственное или множество решений. Отсутствие решения свидетельствует о необходимости пересмотра структурного и топологического синтеза в ограничении параметров и требований к показателям качества.

При оптимизационной постановке задачи параметрического синтеза систем управления могут иметь место две принципиально разные ситуации: качество решения поставленной задачи оценивается одним или двумя и более критериями. Соответственно различают однокритериальную и многокритериальную задачи принятия решения.

Классическая задача оптимизации является однокритериальной. Применительно к параметрическому синтезу задача оптимизации сводится к поиску условного минимума (или максимума) функции нескольких переменных

,

что читается следующим образом: найти максимум критерия , зависящего от вектора параметров при условии, что вектор а принадлежит подмножеству , где соблюдены ограничения на параметры и другие показатели качества.

Такие задачи могут решаться методами нелинейного программирования. Научная обоснованность такого решения делает его своеобразным эталоном, к которому следует стремиться при настройке системы управления.

Совершенство большинства систем управления оценивается несколькими частными критериями , совокупность которых образует векторный критерий J. Задачу векторной оптимизации можно записать следующим образом

. (4.17)

В записи (4.17) принято, что вектор параметров а принадлежит области А допустимых значений параметров.

Минимальные значения частных критериев в общем случае не совпадают, т.е. имеет место неполная определенность решения задачи векторной оптимизации, обусловленная неопределенностью ее постановки. Под наилучшим решением многокритериальной задачи обычно понимается компромисс между вариантами, оптимизирующими управление по частным критериям. Информация, позволяющая найти компромиссное решение на основе объективных расчетов, отсутствует. Недостаток информации, необходимый для выбора рационального решения из области компромиссов, может быть восполнен лицом принимающим решение.

Понятие области компромиссов (множества неулучшаемых решений) введено в 1904 г. итальянским ученым Парето. По определению, множеством неулучшаемых решений (множеством Парето) является множество параметров, в котором изменение любого параметра с целью улучшения одного из частных критериев обязательно ухудшает хотя бы один из остальных критериев. Следовательно, решение многокритериальной задачи заведомо не оптимально, если может быть улучшен один из критериев без ухудшения других.

На рис.4.21,а области Парето соответствует отрезок Р между значениями и параметра а, которые минимизируют частные критерии и . В области Р уменьшение приводит к увеличению . Если по осям координат отложить значения частных критериев и , то области Парето (рис.4.21,б) будет соответствовать отрезок зависимости, связывающий с и ограниченный значениями и .

Окончательному выбору параметров настройки обычно предшествует исследование качества управления в области Парето путем сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

При этом в качестве критерия качества используется один из частных критериев, а остальные объявляются ограничениями, или формируется обобщенный (глобальный) критерий из совокупности частных.

Рис.4.21 Области Парето на оси параметров (а) и графике,

иллюстрирующем зависимость от (б)

Оптимум обобщенного критерия

зависит от вектора параметров а и весовых коэффициентов , определяющих предпочтение соответствующих частных показателей.

Обобщенный критерий называют эффективным, если для любых значений весовых коэффициентов его минимум принадлежит области Парето. Примером эффективного критерия является аддитивный обобщенный критерий:

; ; .

Улучшенная квадратичная интегральная оценка (см.§3.3) является примером аддитивного обобщенного показателя, в котором частные критерии

;

имеют весовые коэффициенты и

П ример. Пусть на вход системы (рис.4.22) подается воздействие . Необходимо выбрать коэффициент передачи К₁.

Рис.4.22 Структурная схема системы

Качество управления оценивается установившейся ошибкой

и колебательностью , определяемой отношением модулей мнимых частей характеристического полинома замкнутой системы к модулю действительной части:

Отрезок на оси абсцисс не является областью Парето (см.рис.4.23), так как увеличение К₁ уменьшает установившуюся ошибку, не увеличивая колебательности процесса.

Рис.4.23 Графики зависимости показателей качества

от коэффициентов передачи

Следовательно, анализ обобщенного критерия качества позволил сократить исходную неопределенность в значении коэффициента передачи. Уменьшение неопределенности решения задачи в области возможно при получении дополнительной информации о предпочтениях проектировщика.

Заключение. Параметрический синтез является завершающей стадией синтеза системы управления и имеет как правило множество возможных решений. Сократить исходную неопределенность постановки задачи можно использованием метода векторной оптимизации и построением области не улучшаемых решений (множества Парето) с последующим применением информации о предпочтениях проектировщика.

189