§4.3 Частотный метод синтеза системы управления

Понятие о синтезе систем управления. Под синтезом понимают процедуру определения математической модели СУ, удовлетворяющей требованиям точности воспроизведения задания (ковариантности с заданием), устойчивости, инвариантности к координатным и параметрическим возмущениям. Синтез – это важный этап проектирования и создания системы. Следующими этапами являются: выбор конкретных элементов системы, энергетический и конструктивный расчет и т.д.

Различают топологический, структурный и параметрический синтез. На стадии топологического синтеза формируется структура системы, т.е. определяются измеряемые переменные, управляющие воздействия, места включений звеньев подсистемы управления. В процессе структурного синтеза формируется структура операторов, входящих в изменяемую часть системы. В ходе параметрического синтеза, исходя из условий устойчивости, минимизации установившихся и динамических ошибок, рассчитываются параметры сформированных операторов подсистемы управления.

Синтезу предшествует исследование объекта управления, включая составление математического описания, требований к процессу управления и анализ вероятных возмущений.

К настоящему времени разработано несколько методов синтеза. В инженерной практике наибольшее распространение получили аналитические и графоаналитические методы.

Для аналитических методов характерно отыскание алгоритмической структуры системы при помощи математических методов – аналитического конструирования системы управления. Аналитический подход позволяет, в частности, наглядно и четко показать принцип формирования идеальной и технически реализуемой структуры системы управления.

Наиболее удобный из графоаналитических методов основан на построении логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. При этом широко используются косвенные оценки качества переходного процесса, такие как запасы устойчивости по фазе и модулю, частотный показатель колебательности, частота среза, которые можно непосредственно определить по частотным характеристикам.

При любом из указанных методов вначале проектируемую систему разделяют на две подсистемы: неизменяемую и изменяемую части. К неизменяемой части обычно относят: объект управления, датчики, исполнительное устройство и регулирующий орган. Указанные элементы выбирают по каталогам серийного оборудования, исходя из расчетных характеристик и условий эксплуатации системы. Затем на основании требований к статическим и динамическим свойствам системы определяют её изменяемую часть, в которую входят усилители, преобразующие и корректирующие устройства.

Следует подчеркнуть, что процессы выбора алгоритмической и функциональной структур системы взаимосвязаны и их нередко приходится выполнять по нескольку раз, чередуя между собой. Окончательное решение о структуре системы принимается, как правило, на основе компромисса между точностью и качеством, с одной стороны, и простотой и надёжностью, с другой.

Основные стадии синтеза систем управления частотным методом. Ниже основное внимание уделяется синтезу замкнутых систем, поскольку использование отрицательной обратной связи является необходимым условием

стабилизации неустойчивых объектов, ослабления координатных и параметрических (в общем случае – операторных) возмущений.

Различают топологический, структурный и параметрический синтез. На стадии топологического синтеза формируется структура системы, т.е. определяются измеряемые переменные, управляющие воздействия, места включений звеньев подсистемы управления. В процессе структурного синтеза формируется структура операторов, входящих в изменяемую часть системы. В ходе параметрического синтеза, исходя из условий устойчивости, минимизации установившихся и динамических ошибок, рассчитываются параметры сформированных операторов подсистемы управления.

В одноконтурных системах с единичной отрицательной обратной связью оператор изменяемой части системы (регулятора) включается последовательно (рис.4.14,а) с оператором неизменяемой части (объекта). Оператор часто представляется как совокупность компенсатора , обеспечивающего необходимую точность системы в установившемся режиме, и звена коррекции , с помощью которого достигается требуемое качество переходного процесса.

Звено коррекции может включаться последовательно с компенсатором (рис.4.14,б), параллельно с ним (рис.4.14,в) или в виде отрицательной обратной связи (рис.4.14,г). Используя типовые соединения звеньев (см.§2.4) можно получить формулы пересчета передаточных функций для указанных на рис.4.14 способов включения корректирующих звеньев.

Рис.4.14 Способы формирования регулятора одноконтурной системы

Если для управления используется дополнительная информация о переменных неизменяемой части системы или организуются дополнительные воздействия на объект, то звено коррекции включается в местную обратную связь (рис.4.15,а), охватывающую часть элементов неизменяемой части , или параллельно компенсатору (4.15,б).

Местная обратная связь является эффективным способом коррекции (см.§4.1) в области частот, где усиление внутреннего контура велико и позволяет, в частности, стабилизировать свойства основного контура при вариациях оператора охваченного местной обратной связью.

а )

б)

Рис.4.15 Коррекция систем с использованием дополнительной информации (обратной связи) или организации параллельного канала воздействия на объект

Частотный метод, основанный на использовании асимптотических ЛАЧХ, широко применяется в инженерной практике для синтеза оператора , если неизменяемая часть системы описывается минимально-фазовыми звеньями. Сущность этого метода заключается в построении ЛАЧХ неизменяемой части по известной передаточной функции и желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура , обеспечивающей выполнение требований к системе в рабочем диапазоне частот. Разность

(4.4)

есть ЛАЧХ регулятора, т.е. изменяемой части системы (рис.4.14,а).

Обеспечение селективной инвариантности систем управления. Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

ЛАЧХ в области низких частот определяет точность системы в установившемся режиме работы. При этом следует иметь в виду, что в одноконтурных системах (рис.4.14 а) условия, необходимые для достижения абсолютной инвариантности, не выполняются (не соблюдается принцип двухканальности). Напомним (см.§3.1), что селективная абсолютная инвариантность достигается, если передаточная функция замкнутой системы по каналу возмущения обращается в ноль на спектре возмущения. В частности, это имеет место, если передаточная функция регулятора содержит полюсы, равные полюсам внешних воздействий с учетом их кратности. Указанный результат как отмечалось в §3.1 является частным случаем принципа внутренней модели, согласно которому в системе с хорошими показателями качества должна присутствовать модель среды. Селективная инвариантность до , где – установившаяся ошибка, имеет место, если на частотах воздействий усиление контура достаточно велико.

Рассмотренные выше способы расчета установившихся ошибок при типовых воздействиях (см.§3.1) и методы повышения точности (см. §4.2) позволяют решать основные задачи синтеза алгоритмов управления селективно инвариантных систем.

При расчете следящих систем задающее воздействие, качество воспроизведения которого является главной целью синтеза, обычно заменяют эквивалентным гармоническим сигналом

,

амплитуда и частота которого выбирается из условий:

; ,

где и – предельные значения скорости и ускорения задающего воздействия.

По значениям параметров

;

можно построить контрольную точку В (рис.4.16) с координатами , , где – допустимое значение амплитуды установившейся ошибки .

Рис.4.16 Низкочастотная часть ЛАЧХ разомкнутой следящей системы

Проходящие через точку В отрезки с наклоном –20 дБ/дек и –40дБ/дек ограничивают сверху область, в которую не должна заходить ЛАЧХ разомкнутой системы. Указанная область построена исходя из следующих соображений. В области низких частот . Для воспроизведения такого воздействия передаточная функция контура должна иметь нулевой полюс, т.е. содержать в своей структуре интегрирующее звено. При этом наклон низкочастотной асимптоты ЛАЧХ равен –20 дБ/дек, а установившаяся ошибка не превысит заданного значения, если добротность контура по скорости .

Для обеспечения абсолютной селективной инвариантности воспроизведения гармонического воздействия , изображение которого соответственно равно

,

передаточная функция разомкнутого контура должна иметь пару чисто мнимых корней , а ЛАЧХ – наклон –40дБ/дек.

Повышение усиления на низких частотах, свойственное астатическим системам, обеспечивает не только ковариантность выхода системы с заданием, но и инвариантность к низкочастотным возмущениям, и малую чувствительность к вариациям свойств элементов системы (см.§3.3).

Коррекция систем управления. Эта задача обычно решается усложнением алгоритма (оператора) преобразования сигнала рассогласования в управляющее воздействие или использованием дополнительной текущей информации о неизменяемой части системы (рис.4.15а).

Установившиеся и переходные составляющие выходной координаты можно в определенной мере формировать раздельно, если контур имеет малое усиление на собственных частотах отдельных звеньев, поскольку при малом усилении контура полюсы звеньев приблизительно совпадают с корнями характеристического уравнения системы.

Усиление контура можно считать малым, если

, (4.5)

где – комплексный коэффициент передачи разомкнутого контура;

– полюсы передаточной функции неизменяемой части системы.

Выполнение указанного неравенства упрощает синтез инвариантных систем с достаточным запасом устойчивости, позволяя решать задачи инвариантности и устойчивости независимо. Однако, уменьшение коэффициента передачи снижает быстродействие системы. Если к системе приложены не только постоянные, но и низкочастотные воздействия, то для их воспроизведения или/и подавления с требуемой точностью необходимо повысить добротность контура , что может привести к недопустимой колебательности вплоть до неустойчивости системы. В подобных случаях ставится и решается задача коррекции, т.е. формирование модели (см.рис.4.14,а), обеспечивающей необходимое качество переходного процесса без нарушения требований по точности.

В процессе коррекции контура формируется желаемая передаточная функция разомкнутого контура на более высоких, чем спектр обрабатываемых воздействий, частотах. В области высоких частот, соответствующий началу переходного процесса, усиление контура принимается малым, что способствует подавлению высокочастотных помех. Основная сложность формирования относится к области средних частот, которая определяет качество переходных процессов.

Задача коррекции решается выбором рационального размещения нулей и полюсов передаточной функции разомкнутого контура при выполнении условий (коэффициент передачи, порядок астатизма системы), обеспечивающих точность системы в установившемся режиме. Характерные случаи стабилизации и демпфирования систем введением корректирующих звеньев рассматривались в предыдущем параграфе. Следует отметить, что приближение нулей передаточной функции разомкнутого контура к полюсам уменьшает соответствующие составляющие переходного процесса при любых воздействиях.

В области средних частот усиления контура сравнимы с единицей. Основными параметрами среднечастотной асимптоты ЛАЧХ разомкнутого контура являются ее наклон (на рис.4.17 наклон равен –20дБ/дек), частота среза и протяженность, определяемая отношением .

Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ определяется по прямым или частотным показателям качества переходного процесса.

Чем больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Если наклон ЛАЧХ равен –20дБ/дек (меньше наклон трудно осуществить), а и , то перерегулирование . При этом время регулирования определяется частотой среза С увеличением отклонения перерегулирование уменьшается. Упрощенная методика определения желаемой характеристики в области средних частот базируется на типовых ЛАЧХ.

Рис. 4.17 Типовые асимптотические ЛАЧХ

Наиболее часто рассматриваются типы ЛАЧХ, представленные на рис.4.17. ЛАЧХ области средних частот сопрягается с низкочастотными и высокочастотными прямыми асимптотами, имеющими наклон –40 или –60дБ/дек. Наклон и положение сопрягающих асимптот можно уточнить, оценивая запас устойчивости в соответствующих диапазонах частот или методом моделирования на персональной ЭВМ. Закон устойчивости по фазе при ω= ω₂ обычно превышает 40⁰, а при ω_ср находится в пределах 30÷60⁰. Частота среза в предварительных расчетах определяется зависимостью , где к находится в пределах от 2 до 4 и уточняется по номограммам. В свою очередь, L₃ находится по номограммам в зависимости от требуемого значения перерегулирования σ.

В области высоких частот, т.е. там, где выполняется условие (4.5), наклон желаемой ЛАЧХ можно принимать равным наклону ЛАЧХ неизменяемой части, поскольку высокочастотная область незначительно влияет на динамические свойства системы. Следует иметь ввиду, что увеличение наклона асимптот ЛАЧХ в области высоких частот уменьшает влияние высокочастотных помех.

Если синтез ведется по частотным показателям качества, то параметры среднечастотного участка исследуемой ЛАЧХ можно предварительно выбирать по следующим зависимостям:

; ,

где М – заданное значение частотного показателя колебательности.

При этом минимальная протяженность асимптоты ЛАЧХ с наклоном –20дБ/дек для обеспечения заданного значения М определяется отношением (М+1)/(М–1).

При невысоких требованиях к качеству переходного процесса могут использоваться статические или астатические системы первого порядка, передаточная функция разомкнутой части которых не содержит форсирующих звеньев, а ЛАЧХ в области имеет наклон –40дБ/дек.

В частности, если передаточная функция разомкнутого контура имеет вид

,

то при выполнении условия

.

Определение передаточных функций корректирующих устройств. При последовательной коррекции (см.рис.4.14 а,б) стремятся выполнить равенство

.

Наличие общих делителей в передаточных функциях и , где – определяется в процессе синтеза системы в области низких частот, упрощает корректирующее звено , т.е. при формировании желаемой передаточной функции разомкнутой системы следует стремиться к повторению максимального числа нулей и полюсов передаточной функции исходной системы .

Пусть числители и знаменатели передаточных функций и имеют наибольшие общие делители и . Передаточная функция звена коррекции

,

где и В₁(р)/А₁(р) – передаточные функции желаемой и исходной систем, полученные сокращением и на и . Передаточная функция разомкнутого контура скорректированной системы равна

.

Отсюда следует, что характеристический полином скорректированной системы равен произведению желаемого характеристического полинома на полиномы и :

,

т.е. порядок скорректированной системы выше порядка желаемой на число полюсов и нулей неполной системы . Нули и полюсы неполной системы должны быть безусловно левыми, а корни полиномов и могут быть любыми.

Частотные характеристики не отражают диполей, поэтому при синтезе системы частотными методами следует следить за отсутствием плохих (неустойчивых или сильноколебательных) диполей в скорректированной системе.

Если коррекция осуществляется использованием местной обратной связи (рис.4.15, а), то передаточная функция скорректированного разомкнутого контура равна

, (4.6)

где .

Полагая , выразим передаточную функцию корректирующего звена

(4.7)

где В(р) и А(р) – полиномы числителей и знаменателей соответствующих передаточных функций. Индекс «НО» относится к передаточной функции системы, неохваченной местной обратной связью (на рис.4.15, а звену соответствует W₂(p)).

Следовательно, упрощается, если в желаемой передаточной функции повторяются нули исходной и полюсы части системы , неохваченной местной обратной связью.

Подставляя (4.6) в (4.7) можно показать, что передаточная функция скорректированной замкнутой системы имеет диполи из числа нулей , нулей , не совпадающих с нулями , и полюсов передаточной функции

.

Здесь , а – нули , совпадающие с нулями .

Полином является характеристическим полиномом скорректированной системы. Скорректированная система будет грубой, если разность степеней полиномов знаменателя и числителя желаемой передаточной функции будет не меньше соответствующей разности для исходной передаточной функции .

Контур коррекции (рис.4.15 а) практически не влияет на свойства системы в области аргумента р, где модуль передаточной функции контура коррекции . Если , то местная обратная связь оказывает определяющее влияние на свойства системы, а , т.е. передаточная функция скорректированной системы в основном определяется отношением передаточных функций части системы, неохваченной местной обратной связью, и корректирующего устройства.

Заключение. Методология синтеза, т.е. построения математической модели системы управления, удовлетворяющей требованиям точности, качества переходного процесса и грубости (робастности), является важнейшей задачей теории управления. В процессе синтеза определяются топология системы, операторы и параметры настройки управляющего устройства (регулятора).

Синтез системы частотным методом предполагает наличие двух стадий. Первая стадия имеет целью обеспечение требуемой точности подавления возмущений или/и воспроизведения задания в установившихся режимах. На этой стадии обычно определяется порядок астатизма и коэффициент передачи (добротность) системы.

Вторая стадия (задача коррекции) заключается в формировании желаемых характеристик разомкнутого контура, удовлетворяющих требованиям к переходным процессам без нарушения достигнутой на первой стадии точности. Это достигается рациональным выбором операторов и параметров корректирующих звеньев и мест их включения.

Задачи коррекции часто решаются использованием типовых асимптотических ЛАЧХ, позволяющих достаточно просто оценить усиление контура на частотах модулей нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы, соответствующих изломам ЛАЧХ, и упрощающих рациональное размещение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы (в следящих системах по каналу воспроизведения задания) по требованиям к переходным процессам. Образование диполей, т.е. приближение нулей к полюсам передаточной функции, уменьшает соответствующие составляющие переходного процесса при любых воздействиях.

По своей сущности задача синтеза системы является задачей аппроксимации (приближения). Частотный метод синтеза в условиях широкого использования программных средств автоматизированного проектирования может использоваться для предварительного выбора топологии, структуры и параметров системы, которые далее уточняются в режиме оперативного взаимодействия с персональной ЭВМ.