9. Представлення довільного числа в формі з плаваючою крапкою. Мантиса та порядок числа. Нормалізована форма представлення числа. Форма з плаваючою крапкою
Для того, щоб збільшити діапазон чисел, використовують другу форму запису чисел – з плаваючою комою. Будь-яке число в системі числення з основою Q можна записати так:
a=A*Qp .
A називають мантисою числа, а P – порядком. Наприклад, в десятковій системі числення число 3,14 представимо у вигляді 3,14 = 0,314*101 .
Тут мантиса дорівнює 0,314, а порядок 1 Очевидно, таке представлення далеко не однозначне. Число 3,14 записати так: 3,14=3,14*100 = 31,4*10-1 = 0,0314*102 =...
Порядок числа визначає положення коми в запису мантиси. При коректуванні порядку відповідним чином змінюється і положення коми – кома ніби ”плаває”. Звідси і назва методу представлення чисел. З плаваючою комою число, як ми тільки що бачили, представляється неоднозначно. Одне з цих представлень називають нормалізованим. В цьому випадку мантиса повинна задовільняти вимозі 1/10 <|А|< 1 (мова йде про десяткову систему числення). Iншими словами, перша цифра мантиси після коми повинна бути відмінною від нуля. В нашому прикладі десяткове число а=3,14 в нормалізованій формі має вигляд 3,14=0,314*101 .Запишемо кілька чисел в двійковій системі числення в нормалізованій формі: (7)10 = (111)2 = 111*20 = 111*100 = 0,111*23 = 0,111*1011 (-9,5)10 = (-1001,1)2 = -0,10011*24 = -0,10011*10100. Нехай для представлення чисел з плаваючою комою в нас відведено 24 розряди. Нехай один розряд відведено для знаку числа, а другий для знаку порядку :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Знак числа| | Порядок Мантиса
Додатнє число, максимальне з можливих в пам’яті ЕОМ :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
Знак числа| | Порядок Мантиса Знак порядку|
Мінімальне за модулем, відмінне від нуля і нормалізоване число
а=(0,1*10-1111111 )2 =1/2*2-127 = 2-128 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
Знак числа| | Порядок Мантиса Знак порядку|
Відмітимо, що найменше за модулем число, не рівне нулю і не нормалізоване, яке можна представити в комірці:
а=(1/2)+15 *2-127 = 2-142 .
В цьому випадку мантиса
А=(0, 000...01)2 = 2-15 , порядок Р = -(1111111)2 = -(127)10 .
10. Прямий, зворотній та доповнюючий коди чисел. Необхідність використання доповнюючого коду. Діапазони представлення цілих додатніх та від’ємних чисел: байт, слово, подвійне слово.
Прямий, зворотній і доповнюючий коди
В
ЕОМ доцільно представляти знаки чисел
з допомогою тих же символів через, через
які записується саме число. Для цього
виділяється додатковий розряд, який
називають знаковим
і розташовують
зліва від старшого розряду числа. Будемо
позначати знакові розрядні числа
як
і відділяти їх крапками від цілої частини
числа і комами від дробової.
Для правильності виконання арифметичних операцій над числами, знаки яких закодовані числами, використовують спеціальні способи представлення чисел: прямий, зворотній і додатковий.
Прямий код використовується для вводу-виводу інформації і в запам’ятовуючих пристроях.
Додавання чисел в прямому коді (з одинаковими знаками) не викликає труднощів. Однак додавання чисел з різними знаками в прямих кодах незручно, так як повинно бути спеціальне обладнання для віднімання чисел і визначення знаку різниці.
Операцію алгебраїчного додавання чисел можна звести до операцій додавання при використанні зворотніх і додаткових кодів.
Представлення додатнього числа в зворотньому коді співпадавє з його прямим кодом. Для отримання зворотнього коду від’ємного числа в двійковій системі необхідно в знаковому розряді записати 1, а в інших розрядах одиниці замінити нулями, а нулі одиницями. Аналогічну заміну роблять при перетворенні зворотнього коду від’ємного числа в прямий. На відміну від прямого коду, в зворотньому не можна відкидати нулі після знакового розряду в цілій частині і нулі в кінці дробової частини від’ємного числа.
Представлення додатнього числа в доповнюючому коді співпадавє з його прямим кодом. Правило формування додатнього коду від’ємного числа формулюється так: отримати зворотній код числа і додати 1 в молодший розряд числа. Перетворення доповнюючого коду від’ємного числа здійснюється або зворотнім шляхом ( відняти 1 і перетворити в зворотній код) або утворити доповнюючий код до доповнюючого. Нуль, на відміну від прямого і зворотнього кодів, в доповнюючому коді має єдине представлення
Байт – вісім послідовно розміщених бітів, пронумерованих від 0 до 7, при цьому біт 0 є самим молодшим значущим бітом.
Слово – послідовність з двох байтів, які мають послідовну адресу. Розмір слова 16 біт; біти в слові нумеруються від 0 до 15. Байт який містить нульовий біт, називається молодшим байтом, а байт, який містить 15-й біт називають старшим байтом. Мікропроцессори Intel мають важливу особливіть – молодший байт завжди зберігається за молодшою адресою. Адресою слова рахується адреса молодшого байта. Адреса старшого байта може бути використана для доступа до старшої половини слова.
Подвійне слово – послідовність з чотирьох байтів (32 біта), які мають послідовну адресу. Нумерація цих бітів проводиться від 0 до 31. Слово, яке містить нульовий біт називається молодшим словом, а слово яке містить 31-й біт старшим словом. Молодше слово зберігається за меншою адресою. Адресою подвійного слова рахується адреса молодшого слова. Адреса старшого слова може бути використана для доступа до старшої частини подвійного слова..
Чотирьохкратне слово- послідовність з восьми байт (64 біта). які мають послідовну адресу. Номерація цих бітів проводиться від 0 до 63. Слово яке містить нульовий біт називається молодшим подвійним словом словом, а слово яке містить 63-й біт старшим подвійним словом. Молодше подвійне слово зберігається за молодшою адресою. Адресою подвійного слова рахується адреса молодшого слова. Адреса старшого подвійного слова може бути використана для доступа до старшої половини чотирьохкратного слова.