3. Прикладна теорія цифрових автоматів.

3. Прикладна теорія цифрових автоматів. 1

1. Двійкова СЧ. Переваги і недоліки двійкової СЧ. Переведення довільного числа з десяткової СЧ в двійкову СЧ і навпаки. 2

2. Двійкова арифметика (виконання операцій додавання, віднімання, множення і ділення в 2-СЧ). 2

7. Основні властивості двійкових чисел. Правила «швидкого рахунку». 2

3. Шістнадцяткова СЧ. Шістнадцяткова арифметика. 3

4. СЧ з основою р. Переведення довільного числа з десяткової СЧ в СЧ з основою р і навпаки. 4

5. Виконання арифметичних дій в СЧ з основою р. 5

6. Змішані СЧ. Запис чисел в змішаних СЧ. Системи з кратними основами. Теорема для СЧ з кратними основами 6

8. Дві форми комп’ютерного представлення числових даних. Їх переваги і недоліки. Діапазон представлення чисел в цих випадках. 8

9. Представлення довільного числа в формі з плаваючою крапкою. Мантиса та порядок числа. Нормалізована форма представлення числа. 9

10. Прямий, зворотній та доповнюючий коди чисел. Необхідність використання доповнюючого коду. Діапазони представлення цілих додатніх та від’ємних чисел: байт, слово, подвійне слово. 10

11. Поняття про булеві функції. Три способи задання булевих функцій. Таблиця істинності. Номер двійкового набору. Повністю та неповністю визначені булеві функції. 11

12. Основні булеві функції однієї і двох зміних. Унарна і бінарні операції булевої алгебри. Суперпозиція булевих функцій. Три аксіоми булевої алгебри. Алгебра Жегалкіна. Теореми де Моргана. 13

13. Аналітичне представлення булевих функцій. Досконала диз’юнктивна нормальна форма(ЗДНФ). Досконала кон’юнктивна нормальна форма(ЗКНФ). Конституєнта нуля. Конституєнта одиниці. Розклад Шеннона. 15

14. Мінімізація булевих функцій. Постановка задачі мінімізації булевих функцій. Елементарна кон’юнкція. Диз’юнктивна нормальна форма (ДНФ). Мінімальна диз’юнктивна нормальна форма (МДНФ). Два етапи мінімізації булевих функцій. 17

15. Метод Квайна. Співвідношення склеювання та поглинання. Метод Квайна-Мак-Класкі. Метод діаграм Вейча. Сусідні набори. Загальне правило склеювання на діаграмі Вейча. 18

1. Двійкова сч. Переваги і недоліки двійкової сч. Переведення довільного числа з десяткової сч в двійкову сч і навпаки. Двійкова позиційна система числення

Позиційна система числення з основою 2 називається двійковою. Для запису чисел в двійковій системі використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Число два, тобто основа системи подається як 10₂.

Зручність системи – в її надзвичайній простоті.

Недолік – основа системи мала, тому для запису навіть не дуже великих чисел треба використовувати багато знаків.

Переведення числа з двійкової системи числення в десяткову та з десяткової у двійкову

Нам уже відомо, що число N, записане в системі числення з основою p як (±a_ka_k-1…a₁a₀)_p , рівне N=a_k∙p^k+a_k-1∙p^k-1+…+a₁∙p+a₀

Тому:

1001₂=1∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=8+0+0+1=9₁₀

100001₂=1∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=32+0+0+0+0+1=33₁₀

Щоб перевести число із десяткової системи числення у двійкову, треба послідовно ділити десяткове число і його десяткові частки на основу двійкової системи, тобто на число 2. Ділення продовжується до тих пір, поки одержана частка не буде менша основи нової системи числення, тобто 2.

81₁₀|2_

1 |40|2_

0 |20|2_

0 |10|2

0|5|2

1|2|2

0|1

Отже число 81₁₀ в двійковій системі: 1010001₂

Переведемо число 100:

100|2_

0 |50|2_

0 |25|2_

1 |12|2

0|6|2

1|3|2

1|1

Отже, (100)₁₀= (1100100)₂

З переводом чисел з десяткової системи одиниць у двійкову приходиться постійно мати справу при роботі на ЕОМ.

Окрему позицію в записі числа називають розрядом. Число розрядів – розрядність (довжина). Номер позиції – номер розряду. Довжина числа – це к-сть позцій (розрядів) в записі числа. В технічному розумінні це довжина розрядної сітки.

Чим менша основа системи, тим більша довжина числа. Якщо довжина розрядної сітки n, то: A_{q max}=q^n-1; A_{q min}= -(qⁿ-1);

Діапазон представлення чисел в заданій системі:

A_{q max} ≥ДП≥ A_{q min .}