1.3 Случайные процессы

Случайными процессами называются процессы, которые математически описываются случайными функциями времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами.

Наиболее известными примерами случайных процессов являются флуктуационные (дробовые и тепловые шумы). При наблюдении шумового напряжения на выходах идентичных приборов обнаруживается, что функции, описывающие во времени эти напряжения, различны. Задача теории случайных процессов заключается в отыскании вероятностных закономерностей, которые связывают эти различные функции, описывающие одно и то же физическое явление.

Пусть имеется большое число N полностью одинаковых систем (N реализаций) – ансамбль. Системы работают одновременно при одинаковых условиях. На выходе этих систем наблюдается случайный процесс f(t). Если к каждой системе подключить одинаковые регистрирующие приборы и на всех приборах отсчитать мгновенные значения, то получим отличающиеся друг от друга значения: х₁(t₁), х₂(t₂), x₃(t₃), …, x_N(t_N).

Выделим из общего числа N те n реализаций, значения которых в определенный момент времени t₁ меньше, чем некоторое число х. При достаточно большом числе относительная доля функций, находящихся в момент времени t₁ ниже уровня х, будет обладать статистической устойчивостью, т. е. будет оставаться приблизительно постоянным числом. Это число называется вероятностью того, что при t  t₁ случайная функция f(t) находится ниже уровня х₁ и обозначается Р{f(t)  х₁}.

Указанная вероятность, как и число n, зависит от фиксированного момента времени, выбранного уровня, т. е. будет функцией двух переменных t₁ и х₁:

. (1.10)

Эта функция называется одномерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса. Если интеграл функции распределения имеет частную производную по х₁:

, (1.11)

то эта производная называется плотностью вероятности, или одномерной функцией распределения случайной величины. Более полно описывает случайный процесс и учитывает связь между его значениями двумерная функция распределения. Двумерной интегральной функцией распределения называется функция

, (1.12)

определяющая вероятность того, что значение случайного процесса в момент времени t₁ будет находиться ниже уровня х₁, а в момент времени t₂ – ниже уровня х₂.

Частная производная второго порядка

(1.13)

называется двумерной плотностью вероятностей. Аналогичным образом вводится понятие n-мерной интегральной и дифференциальной функций распределения.

В качестве характеристики, учитывающей статистическую связь между

значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется корреляционная (автокорреляционная) функция процесса:

^

, (1.14)

она определяется как математическое ожидание от произведения значений случайного процесса в два различных момента времени.

Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике, является класс стационарных случайных процессов. Случайный процесс называется стационарным в строгом смысле, если его многомерная функция распределения (и, следовательно, числовые характеристики) не зависит от начала отсчета времени, т. е. стационарный процесс ведет себя однородно во времени. При этом оказывается, что одномерная функция распределения, среднее значение и дисперсия вообще не зависят от времени: W(х₁,t₁) = W(x); m(t) = m; _х²(t) = _х² = D_x, а двумерная функция распределения и корреляционная функция зависят только от разности двух значений времени  = t₁ – t₂:

B(t₁, t₂) = B(t₂ – t₁) = B(). (1.15)

Если приведенные выше условия не выполняются, то случайные процессы будут нестационарными. Для нестационарных процессов плотность вероятности является функцией времени. При этом со временем могут изменяться среднее значение, дисперсия случайного процесса или то и другое вместе.

Функция корреляции имеет размерность квадрата исследуемой величины. Чтобы иметь безразмерную функцию, имеющую тот же характер, что и функция корреляции, вводят коэффициент корреляции:

. (1.16)

Интервалом корреляции называют величину

. (1.17)

Интервал корреляции характеризует расстояние между сечениями случайного процесса по времени, которые не зависят друг от друга, так как между этими сечениями теряются связи. Иначе говоря, интервал корреляции характеризует наименьшее расстояние между независимыми отсчетами.

Для стационарного случайного процесса функция корреляции является неслучайной функцией.