7.7. Проведение обработки результатов эксперимента
Любой эксперимент, связанный с измерением величин, сопровождается погрешностями измерений, вносящими элемент неопределенности в результат эксперимента. Постановка повторных или параллельных опытов полностью не исключает неопределенность, так как они проводятся также с погрешностью воспроизводимости. Если проверить параллельно несколько опытов в одинаковых условиях, то погрешность воспроизводимости можно оценить по отклонениям результатов опыта от среднего арифметического, характеризуемого оценкой дисперсии
,
(9.11)
где n – число параллельных опытов, при условии исключения грубых погрешностей.
Для получения оценки дисперсии эксперимента нужно усреднить оценки дисперсии всех опытов, предусмотренных матрицей планирования. Оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента подсчитывают по формуле
.
(9.12)
Если из-за отбрасывания промахов число n повторных опытов во всех точках неодинаково, оценка дисперсии эксперимента определяется по формуле
,
(9.13)
где
–
оценка дисперсии i-го опыта; fi
– число степеней свободы в i-м опыте;
равное числу параллельных опытов ni
минус 1.
Число степеней свободы средней дисперсии принимается равным сумме чисел степеней свободы fi. Формулы (9.12) и (9.13) справедливы только тогда, когда дисперсии однородны, т.е. если среди суммируемых дисперсий не было бы таких, которые превышали бы все остальные. Для сравнения дисперсии но их оценкам пользуются критерием Фишера (F-критерий). Отношение наибольшей оценки дисперсии к наименьшей сравнивается с табличным. Если это значение отношения больше табличного, то оценки дисперсии эксперимента неоднородны.
Наряду с оценкой случайных погрешностей измерений должны быть приняты меры по уменьшению влияния систематических погрешностей, вызванных изменением внешних условий. Для этих целей оказывается эффективной «рандомизация» (от random – случайный) опытов во времени приданием случайного характера последовательности проведения опытов, предусмотренных матрицей планирования.
Обработка результатов эксперимента сводится к последовательному выполнению трех операций:
- вычислению коэффициентов модели (коэффициентов регрессии);
- проверке адекватности модели;
- проверке значимости отдельных коэффициентов регрессии.
Вычисление коэффициентов модели производится с привлечением метода наименьших квадратов (см. гл.6).
Проверка адекватности модели состоит в установлении возможности с помощью выбранной регрессионной модели объекта предсказывать с требуемой точностью значения выходной величины в некоторой области значений входной. Для этого прежде всего вычисляется оценка дисперсии адекватности
,
(9.14)
где уi – реальное значение выходной величины, полученное в результате i-го опыта, уiм – значение выходной величины, предсказанное в i-м опыте по полученной модели (для получения уiм необходимо подставить в модель значения факторов, предусмотренные матрицей планирования в i-м опыте, вычислить значение уiм по значениям факторов и коэффициентов модели); f – число степеней свободы, равное числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов модели, минус число определяемых коэффициентов.
Гипотеза об адекватности модели проверяется с помощью F-критерия:
,
(9.15)
где
– оценка дисперсии воспроизводимости
со своим числом степеней свободы.
Модель считается адекватной, если рассчитанное значение F не превышает табличного. При несоблюдении этого условия проводится корректировка модели, вновь определяются коэффициенты и проверяется ее адекватность.
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии проводится по t-распределению Стьюдента. Сначала находят оценки дисперсии коэффициентов регрессионной модели
,
(9.16)
затем вычисляется
(9.17)
и сравнивается с табличным при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы. Проверке подлежат все коэффициенты. На основании результатов проверки проводится корректировка модели путем исключения незначимых факторов или эффектов взаимодействия.