7.6. Планирование дробного факторного эксперимента

Дробный факторный эксперимент, сохраняя все свойства полного факторного эксперимента (симметричность, выполнение условия нормировки, ортогональность), проводится при меньшем числе опытов. Возможность сокращения числа опытов при использовании линейной модели предоставляется в связи с тем, что в полном факторном эксперименте число опытов больше числа коэффициентов модели.

Для пояснения принципа, на котором основано сокращение числа опытов, обратимся к матрице 2² полного факторного эксперимента, представленной в табл.9.4. Использую эту матрицу, можно вычислить четыре коэффициента модели (9.9). Однако при принятом условии линейности модели а₁₂®0 достаточно определить три коэффициента: а₀, а₁, а_3, вектор-столбец х₁х₂ можно использовать для нового фактора х₃.

Если проверить возможность смешивания оценок, то можно заметить, что оно имеет место при различных сочетаниях вектор-столбцов в связи с их совпадением. Однако благодаря тому, что модель линейна, парные взаимодействия незначительны, и взаимодействия практически не влияют на достоверность вычисленных оценок.

Таким образом, оказалось, что для изучения трех факторов достаточно поставить четыре опыта вместо восьми. Сказанное можно обобщить правилом: для сокращения числа опытов новому фактору следует присвоить без изменения знаков вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Матрица 2² (см.табл.9.4) с заменой х₁х₂ на х₃, представляющая собой половину матрицы 2³ полного факторного эксперимента (опыты 5, 2, 3, 8 по табл. 9.3), называется полурепликой. Вторую половину матрицы 2³ с постановкой четырех опытов для оценки влияния трех факторов можно получить, если в матрице 2² х₃ приравнять с обратным знаком к х₁х₂ (опыты 1, 6, 7, 4 по табл.9.3). При объединении двух полуреплик получим полный факторный эксперимент. Каждая из полуреплик может быть использована как для получения оценки линейных эффектов, так и эффектов взаимодействия таким же образом, как и в полном факторном эксперименте 2³. Кроме полуреплик находят применения другие виды дробных реплик (1/4, 1/8, 1/16), каждая из которых имеет две разновидности, которые отличаются числом с линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия, и условным обозначением в виде (табл.9.5).

Таблица 9.5. Характеристика дробных реплик

 

Число факторов	Дробная реплика	Условное обознач.	Число опытов
			для дробных реплик	для полного факторного эксперим.
3	1/2 - реплика от 23	23-1	4	8
4	1/2 - реплика от 24	24-1	8	16
5	1/4 - реплика от 23	25-2	8	32
6	1/8 – реплика от 25	26-3	8	64
7	1/16 - реплика от 26	27-4	8	128
5	1/2 - реплика от 25	25-1	16	32
6	1/4 - реплика от 26	26-2	16	64
7	1/8 - реплика от 27	27-3	16	128
8	1/16- реплика от 28	28-4	16	256

Таким образом, применение дробного факторного эксперимента позволяет существенно сократить число опытов, необходимых для построения модели (16 вместо 256 при восьмифакторном эксперименте). Наиболее целесообразно использовать дробные реплики для получения линейных моделей с большим количеством факторов.