ТЕОРИЯ РЯДОВ, ГАРМОНИЧЕСКИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. РЯДЫ ФУРЬЕ.
Числовые ряды
Пусть - бесконечная числовая последовательность. Выражение называется бесконечным числовым рядом, а числа - членами ряда; называется общим членом. Ряд часто записывают в виде .
Сумму первых и членов числового ряда обозначают через и называют п-й частичной суммой ряда:
Ряд называется сходящимся, если его п-я частичная сумма при неограниченном возрастании и стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда. Если же п-я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.
Ряд , составленный из членов убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .
Ряд называется гармоническим, расходится.
Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
Теорема 1. Если сходится ряд
,
то сходится и ряд
получаемый из данного ряда отбрасыванием первых членов (этот последний ряд называют - м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости - го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.
Теорема . Если сходится ряд
и суммой его является число S, то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна аS.
Теорема. Если сходится ряды
, ,
имеющие соответственно суммы S и , то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна S +.
Теорема. Если ряд
сходится, то , т.е. при придел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).
Таким образом, если , то ряд расходится.
Важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
(1)
(2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п = N.
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда , одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Признак Коши. Если для ряда
существует = q, то этот ряд сходится при q <1 и расходится при q >1.
Признак Даламбера. Если для ряда
существует , то этот ряд сходится при k <1 и расходится при k >1.
Интегральный признак. Если f(x) при - непрерывная, положительная и монотонная убывающая функция, то ряд , где сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
где .
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующие два условия: 1) и .
Возьмем п-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница
пусть -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и п-й частичной суммой т.е.
Величина оценивается с помощью неравенства
Знакопеременный ряд
сходится, если сходится ряд
В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму (знаменатель геометрической прогрессии). Следовательно
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Член данного ряда меньше соответствующих членов ряда , т.е. ряда
Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд.
Пример . Исследовать сходимость ряда
Решение: Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Здесь удобно применить признак Коши, поскольку а предел
т.к. то ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
.
Решение: Применим признак Даламбера: имеем
Т.к. 2 > 1, то ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Применим признак Лейбница. Так как
то
Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Так как
то выполняется и второе условие. Значит, данный ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение: Составим ряд из абсолютных величин
Этот ряд бесконечно убывающая геометрическая прогрессия п, следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно.