Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Всякая функция,
бесконечно дифференцируемая в интервале
т.е.
,
может быть разложена в этом интервале
в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
если в этом интервале выполняется условие
где
- остаточный член формулы Тейлора (или
остаток ряда),
При
получается степенной ряд Маклорена:
Если в некотором
интервале, содержащем точку
,
при любом п выполняется неравенство
,
где М – положительная постоянная,
то
и функция f(x) разложима в ряд Тейлора.
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
;
;
;
Это последнее разложение имеет место
при
при
при
;
.
Пример. Разложить
в ряд по степеням х функцию
Решение: Найдем значения функции и её производных при х =0.
,
,
,
,
Так как 0 < ln 2<1,
то при фиксированном х имеет место
неравенство
для любого п. Следовательно, функция
может быть представлена в виде суммы
ряда Маклорена:
,
поэтому
Пример. Разложить
в ряд по степеням х функцию
Решение: Продифференцируем функцию п+1 раз:
,
В точке х = 0
находим
,
а значение f(n+1) (х)
определяем в точке х=с. Получаем
f(0)=0,
,
Находим остаточный член:
Так как
при любом х, а
величина
ограниченная, то
.
Следовательно, функцию
можно представить в виде суммы ряда
Маклорена
.
Пример. Разложить
в ряд по степеням х.
Решение: B разложении
.
Заменим х на –х2; получим
.
Пример. Разложить lnx в ряд по степеням х -1
Решение: B разложении
.
Заменим х на х - 1; получим
.
Пример. Разложить в ряд по степеням х -2 функцию 1/х.
Решение: Воспользуемся
равенством
.
Правую часть этого равенства можно
рассматривать как сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
с первым членом
и знаменателем
Отсюда получаем
то есть
так как 
.
Применение степенных рядов.
Разложение в степенной ряд методом интегрирования.
Дифференцируя или интегрируя известные разложения функций в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя
в пределах от 0
до x, |x|<1
(это законно, так как ряд равномерно
сходится на отрезке с концами в точках
0 и x при |x|<1),
получим формулу ln(1+x)=
Ряд в правой части сходится при x=1 и, значит, сумма его непрерывна в этой точке.
Пример. Разложить по степеням x функцию arctg x.
Известно, что arctg
x=
.
Разложим подынтегральную функцию в
степенной ряд:
(из биномиального разложения, полагя
t2=x).
Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам –1<t<1.
Итак: arctg x =
Вычисление значений функций с помощью рядов.
Пусть нужно вычислить значение функции f(x) при x=x0 с заданной точностью .
Пусть f(x) разлагается в ряд: f(x)=a0+a1(x-a)+…+an(x-a)n+… в интервале (a-R, a+R) и точка x0 принадлежит интервалу.
Тогда, f(x0)=a0+a1(x0-a)+a2(x0-a)2+…
Взяв достаточное число первых членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с увеличением n. Абсолютная погрешность |f(x0)-Sn(x0)|=|Rn(x0)|, где Rn(x0)=an+1(x0-a)n+1+an+2(x0-a)n+2+…
Необходимо, чтобы |Rn(x0)|<
Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001 число e.
Решение. ex=
e1=1+1+
e1+1+
Rn(x)=
,
где 0<c<x,
при x=1
Rn(1)=
и так как eс<e1<3,
получим Rn(1)<
и подбором получим, что достаточно n=6
e1+1+
.
Приближенное вычисление интегралов.
Пример.
с точностью до 0,001.
Так как sinx=x-
,
то деля почленно на x,
получим
Интегрируя
Ряд можно рассматривать как разность сходящихся знакопеременных рядов:
1-
Погрешность не
превосходит первого из отброшенных
членов, и, подбором, видим, что достаточно
трех скобок в разложении
Пример.
