Функциональные ряды

Ряд

члены которого – функции от х, называются функциональным. Совокупность значений х, при которых функции определены и ряд сходится, называют областями сходимости функционального ряда. Каждому значению из области сходимости Х соответствует определенное значение величины .Эту величину называют суммой функционального ряда и обозначают через S(x).

Функциональный ряд вида

где - действительные числа, называется степенным.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству (теорема Абеля).

Одним из следствий теорем Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости , или с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие - либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи – расходятся на обоих концах.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при х = а; если же R = , то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1 способ. Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности х-а, то

(3)

при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2 способ. Если исходный ряд имеет вид

(где р- целое положительное число: 2,3,…), то

(4)

3 способ. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степенной разности любая, то

(5)

где - коэффициенты, отличные от нуля.

4. способ. Во всех случаях интервал сходимости ряда можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Степенные ряды обладают следующим свойством: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равны соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда. Если

, то

где –R<x-a<R .

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно произвести над степенным рядом сколько угодно раз.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: значит

Ряд сходится только при , т.е. в точке х=5.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q=. Он сходится, если и расходится, если . Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством . Там же результат можно получить, используя формулы (4), (5).

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: В данном случае имеем при п=2k-1 и при п=2k. Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать формулу (5).

Исследуем ряд на концах интеграла сходимости. Полагая , получаем числовой ряд

Но Таким образом, при х-2. Итак, область сходимости данного ряда

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Применим признак Коши, полагая

получаем

Таким образом, ряд сходится, если , т.е.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Применяем признак Даламбера, полагая

полагаем

ряд сходится, если , т.е.