Способы преодоления сложности

• Холизм – отказ от анализа источников сложности (т. е. отдельных элементов), целостное восприятие объекта;

• Редукционизм – дробление системы и анализ источников сложности.

10. Блочное и операторное представление систем. Последовательное и параллельное соединение блоков, контур обратной связи. Передаточные функции (операторы).

K > 1 усилитель

K < 1

K = 0

Фильтры

Прямое правило Лапласа

F(p) f(t)dt

F(p) => f(t)

y=f(x) F(x,y)=0 F(x,y)=0

y’=f(x,y) F(x,y,y’,y’’,…)=0

Системы, где есть движение, т.е. динамические, в математике описываются дифференциальными уравнениями.

F(p) -изображение f(t)

Если мы исходную функцию заменяем изображениями, мы от дифференциальных уравнений к линейным уравнениям.

11. Виды обратных связей. Пример статической и динамической моделей с обратными связями. Мультипликатор и акселератор.

u – входной сигнал, v – выходной сигнал,

W – оператор, – оператор обратной связи

– оператор замкнутой системы

для отрицательной ОС (ООС)

для положительной ОС (ПОС)

12. Обратная связь и механизм рыночного ценообразования. Изменение знака обратной связи (потеря устойчивости) при запаздывании.

Feedback loop – обратная связь

U+Z=U+W₀V

V=W(U+Z)=W(U+W_oc * V)

Z=W_oc * V

V=Wu – оператор интегрирования

V=Wu - оператор диф-ния

W замкнутой

V= U - Для ПОС

V= U - Для OОС

U₁

U

W₁11

W₂

V

U₁=W₁U

V=W₂U₁

W₂W₁

V= U

Если расположены последовательно операторы, то мы их умножаем.

W₁

U

V

W₂

(W₁+W₂)

V = W₁u+W₂u= u

Если операторы расположены параллельно, то мы их складываем.

Примеры

1. М

   U-конечный продукт (вход)

   Y – кол-во того, что нужно произвести (выход)

   одель мультипликатора

1

п ос

k

KY 0<k<1

U

+KY=Y

M – мультипликатор (множитель)

Y=M*U

В принципе, положительная обратная связь (ПОС) имеет эффект усиления в одном контуре, отрицательная обратная связь (ООС) – ослабления.

- модель «выпуск-затраты» Леонтьева

E₃=I₃=

2. Д

   

   инамическая система с интегральным оператором

+k

U y

+ky

- производная по времени

ОДУ – обычное дифференциальное уравнение.

Решим уравнение

;

ООС играет роль стабилизатора,

ПОС – дестабилизатора.

Процесс распада загрязняющих веществ

u- сальдо миграции

3. Модель рыночного ценообразования

Угол наклона зависит от эластичности спроса на товар.

>0, то p>

<0, то p<

D=a-bx

S=c+dx

Значит, это система с ООС, именно поэтому система стабилизирована.

– этот коэффициент связан с запаздыванием цен и со скоростью реакции спроса и предложения.

Этот эффект отражает паутинно-образная модель. У нас возникает эффект запаздывания в обратной связи.

13. Принципы строения и функционирования систем.

• принцип автокаталитического роста

Устойчивые конфигурации, способные воспроизводится, становятся многочисленными.

• принцип селективного удержания

Устойчивые конфигурации остаются, неустойчивые элиминируются.

• принцип селективной вариации

Чем больше разнообразие конфигураций возникает в системе, тем вероятнее, что хотя бы одна из них будет устойчивой и закрепится.

• принцип асимметричного перехода

Переход из неустойчивого состояния в устойчивое возможен, а обратно – нет.

• принцип эмерджентности

Целое может обладать неожиданными свойствами, не вытекающими из свойств частей.

• закон генезиса структуры

В процессе коммуникации между элементами системы выявляются предпочтения, стимулы, реакции, рациональное поведение, что приводит к генезису системы.

• закон убывающей отдачи

При увеличении какого-либо входа без изменения других, эффект на выходе (эффект отдачи) снижается.

• закон необходимого разнообразия (Эшби)

Разнообразие, т. е. сложность управляющей системы, должно быть не меньше, чем разнообразие возмущений объекта. Чем большим разнообразием управления обладает управляющий орган, тем большее разнообразие возмущений он может компенсировать.

• принцип устойчивости Ле-Шателье–Брауна–Самуэльсона (принцип флюгера)

В пределах своего диапазона устойчивости система стремится занять такое положение, чтобы минимизировать эффект (влияние) внешнего возмущения.

• принцип взаимовлияния

Среда влияет на систему, а система на среду.

• закон минимального усилия

Система выбирает, что для нее выгоднее – адаптироваться или попытаться изменить среду, в которой она функционирует.

• принцип самоорганизации

В любой изолированной, детерминированной системе, подчиняющейся неизменным законам, будут появляться элементы, адаптированные к среде обитания.

14. Энтропия и информация. Использование энтропии для оценки качества управления.

Энтропия и информация

Основоположник теории информации Клод Шеннон определил информацию, как снятую неопределенность. Точнее сказать, получение информации – необходимое условие для снятия неопределенности. Неопределенность возникает в ситуации выбора. Задача, которая решается в ходе снятия неопределенности – уменьшение количества рассматриваемых вариантов (уменьшение разнообразия), и в итоге выбор одного соответствующего ситуации варианта из числа возможных. Снятие неопределенности дает возможность принимать обоснованные решения и действовать. В этом управляющая роль информации.

Энтропия (H) – мера неопределенности, выраженная в битах. Так же энтропию можно рассматривать как меру равномерности распределения случайной величины.

Использование энтропии для оценки качества управления

Разнообразие, т. е. сложность управляющей системы, должно быть не меньше, чем разнообразие возмущений объекта. Чем большим разнообразием управления обладает управляющий орган, тем большее разнообразие возмущений он может компенсировать.

Рассмотрим энтропийную формулировку данного закона.

Пусть H(X) – энтропия без управления, H(X/Y) – энтропия с управлением,

X – состояние управляемого объекта, Y – набор управляющих воздействий.

Качество управления оценивается степенью энтропии (неопределенности) при управлении.

Если управление идеально, то H(X/Y) = 0.

Степень уменьшения неопределенности выражается количеством информации.

(1)

Чтобы обеспечить снижение неопределенности управления, система должна располагать достаточным разнообразием.

Если исключить I из соотношения

(2)

Это неравенство выражает предельные возможности управления. С другой стороны система управления тоже неидеальна, т. е. она не может полностью использовать свои возможности.

Из (1) и (2) вытекает: