5) Уравнения Максвелла в интегральной форме.

Первое уравнение Максвелла является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

  Первое уравнение Максвелла имеет вид:

,   (1, a)

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь j_n — проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S,  — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3×10¹⁰ см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

  Второе уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

,   (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь B_n — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу для направления индукционного тока.

  Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

,   (1, в)

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

  Четвёртое уравнение Максвелла (обычно называемое Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

,   (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

6) Электромагнитные волны и их свойства.

Рис.36. К вычислению циркуляций для векторов Е и В.

Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о существовании электромагнитных волн. Для того, чтобы показать это, рассмотрим уравнения (I) и (III) в применении к конкретным полям. Пусть имеется некоторая система координат Х,Y,Z, как показано на рис.36, и в начале координат какими-то внешними причинами созданы электрическое и магнитное поля, характеризующиеся векторами Е и В соответственно. Направления этих векторов указаны на рис.

Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции

векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длинного соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях

или

.

Аналогично для вектора В

.

Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что вектора на соответствующих отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значения циркуляции в уравнения (I) и (III), получим:

и , откуда

; , где производная по х имеет смысл частной производной, поэтому правильнее заменить знак на знак частной производной :

; .

Дифференцируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные результаты, имеем: .

Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени: .

Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из уравнений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой,

Рис.37. Структура электромагнитной волны.

поэтому волны названы электромагнитными. Подставляя численные значения 0 и 0 ,получим, что v = c = 3108 м/c, т.е. скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Если волна распространяется в среде, характеризующейся постоянными  и , то скорость электромагнитной волны - показатель преломления среды относительно вакуума. Электромагнитные волны обладают следующими свойствами:

• волны поперечны, т.к. вектора Е и В направлены по осям Y и Z, тогда как волна распространяется вдоль оси Х.

• волны поляризованы, т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцированному им электрическому.

Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого совпадает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сохраняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется плоской, и ее можно записать так:

В этом выражении - волновое число,  = сТ, =2/T. Формула плоской электромагнитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Световыми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет содержит не менее семи основных цветов. Для упрощения математических выкладок часто ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.