3. Нахождение оптимального плана.

Итак, количество отрезков времени N = 6 (январь – июнь), спрос D_t = 3 для

t = 3÷6. Затраты определяются по формуле:

C_t(x_t, i_t) = C(x_t) + h∙i_t , где

x_t – выпуск продукции;

i_t - запасы на конец отрезка t;

h∙i_t – затраты на хранение;

h = 2 – затраты на хранение единицы продукции;

С(x_i) = 12 + 2x_i – производственные затраты;

Ограничения:

x_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 где t = 1 ÷ N;

i_t = 0, 1, 2, 3 где t = 1 ÷ N.

Производственные затраты – это сумма условно постоянных затрат на переналадку оборудования – 12 и затрат, пропорциональных выпуску продукции -2*x_t.

Обозначим:

f_n(i) – минимальные затраты на n последних отрезков при начальном уровне запасов i.

x_n(i) – выпуск продукции, который обеспечит f_n(i). Уровень запасов на конец всего планового периода должен быть равен 2.

Пусть n = 1 (июнь).

Рассмотрим программу на последний месяц (на июнь).

D₆ = D_июня = d₁=3 – спрос на июнь.

Запишем условие (4) для этого отрезка:

i₀ = i₁ + x₁ – d₁,

где i₀ = i_кон – уровень запасов на конец всего планового периода (для нас i_кон = =i₀ = 2).

Тогда 2= i₁ + x₁ – 3.

Следовательно, i₁ = 5 – x₁.

Выпуск в июне x₁ = 5 – i, где i запас на начало последнего периода (на 1 июня).

Теперь можно составить таблицу:

Для n=1(июнь):

f₁(i)= 12+2(5-i) +h* i_кон = 12+2(5-i)+4= 26-2i

Таблица 1.

Возможные значения запаса i	Xt(i)	f(i)
0 1 2 3	5 4 3 2	26 24 22 20

f₁(0)= 12+2(5-i) +h* i_кон = 12+2(5-0)+4= 26

f₁(1)= 12+2(5-i) +h* i_кон = 12+2(5-1)+4= 24

f₁(2)= 12+2(5-i) +h* i_кон = 12+2(5-2)+4= 22

f₁(3)= 12+2(5-i) +h* i_кон = 12+2(5-3)+4= 20

Для каждого шага n будем строить одну таблицу, в которой предусмотрено:

1) по одной строке для каждого возможного значения начального уровня запаса i;

2) по одному столбцу для каждого возможного значения объема выпуска продукции x.

Будем записывать минимальные затраты для соответствующих сочетаний выпуска x и начального запаса i.

Некоторые клетки таблицы могут быть запрещены в силу условий задачи, каждое из представленных в клетках таблицы чисел представляет собой сумму затрат для периода n и оптимальность затрат для n-1 последующих периодов. В двух дополнительных столбцах записывается минимальная сумма по строке и соответствующий оптимальный выпуск продукции.

Для n = 2 (май) формула для заполнения клеток таблицы:

f ₂(i) = 12+2х + h(i + x – 3) + f₁(i + x – 3), где

h = 2 – затраты на хранение единицы продукции,

12 + 2х – затраты на производство,

2*(i + x – 3) – затраты на хранение,

f₁(i + x – 3) – минимальные затраты на июнь.

Ограничения для уровня запасов: i ≤ 0, 1, 2, 3, d₁+d₂ , но по условию

i=1, 2, 3, следовательно i ≤3

Ограничения для выпуска продукции: d₂-i ≤x≤ d₁+d₂ –i; 3-i≤x≤6-i.

Для i=0, 3-i≤x≤6-i, 3≤x≤6, но по условию x≤5, следовательно 3≤x≤5;

Для i=1, 3-1≤x≤6-1, 2≤x≤5;

Для i=2, 1≤x≤4;

Для i=3, 0≤x≤3;

Составим таблицу.

Таблица 2.

x i	0	1	2	3	4	5	x 2 (i)	f 2 (i)
0	*	*	*	44	46	48	3	44
1	*	*	42	44	46	48	2	42
2	*	40	42	44	46	*	1	40
3	38	40	42	44	*	*	0	38

Кл.(0;3): 12+2*3+2(0+3-3)+ f₁(0+3-3)=18+26=44

Кл. (0;4): 12+2*4+2(0+4–3)+f₁(0+4-3)=22+24=46

Кл. (0;5): 12+2*5 + 2(0 + 5 – 3) + f₁(0+5-3)=26+22=48

Кл. (1;2): 12+2*2 + 2(1 + 2 – 3) + f₁(1+2-3)=16+26=42

Кл. (1;3): 12+2*3 + 2(1 + 3 – 3) + f₁(1+3-3)=20+24=44

Кл. (1;4): 12+2*4 + 2(1 + 4 – 3) + f₁(1+4-3)=24+22=46

Кл. (1;5): 12+2*5 + 2(1 + 5 – 3) + f₁(1+5-3)=28+20=48

Кл. (2;1): 12+2*1 + 2(2 + 1 – 3) + f₁(2+1-3)=14+26=40

Кл. (2;2): 12+2*2 + 2(2 + 2 – 3) + f₁(2+2-3)=18+24=42

Кл. (2;3): 12+2*2 + 2(2 + 2 – 3) + f₁(2+2-3)=22+22=44

Кл. (2;4): 12+2*4 + 2(2 + 4 – 3) + f₁(2+4-3)=26+20=46

Кл. (3;0): 12+2*0 + 2(3 + 0 – 3) + f₁(3+0-3)=12+26=38

Кл. (3;1): 12+2*1 + 2(3 + 1 – 3) + f₁(3+1-3)=16+24=40

Кл. (3;2): 12+2*2 + 2(3 + 2 – 3) + f₁(3+2-3)=20+22=42

Кл. (3;3): 12+2*3 + 2(3 + 3 – 3) + f₁(3+3-3)=24+20=44

n=3 (апрель):

f₃(i) = 12 +2х + h(i + x – 3) + f₂(i + x – 3)

Составим таблицу.

Таблица 3.

x i	0	1	2	3	4	5	x 3 (i)	f 3 (i)
0	*	*	*	62	64	66	3	62
1	*	*	60	62	64	66	2	60
2	*	58	60	62	64	*	1	58
3	56	58	60	62	*	*	0	56

Кл.(0;3): 12+2*3+2(0+3-3)+ f₂(0+3-3)=18+44=62

Кл. (0;4): 12+2*4+2(0+4–3)+f₂(0+4-3)=22+42=46

Кл. (0;5): 12+2*5+2(0+5–3)+f₂(0+5-3)=26+40=66

Кл. (1;2): 12+2*2+2(1+2–3)+f₂(1+2-3)=16+44=60

Кл. (1;3): 12+2*3+2(1+3–3)+f₂(1+3-3)=20+42=62

Кл. (1;4): 12+2*4+2(1+4–3)+f₂(1+4-3)=24+40=64

Кл. (1;5): 12+2*5+2(1+5–3)+f₂(1+5-3)=28+38=64

Кл. (2;1): 12+2*1+2(2+1–3)+f₂(2+1-3)=14+44=58

Кл. (2;2): 12+2*2+2(2+2–3)+f₂(2+2-3)=18+42=60

Кл. (2;3): 12+2*3+2(2+3–3)+f₂(2+3-3)=22+40=62

Кл. (2;4): 12+2*4+2(2+4–3)+f₂(2+4-3)=26+38=64

Кл. (2;4): 12+2*4+2(2+4–3)+f₂(2+4-3)=26+38=64

Кл. (3;0): 12+2*0+2(3+0–3)+f₂(3+0-3)=12+44=56

Кл. (3;1): 12+2*1+2(3+1–3)+f₂(3+1-3)=16+42=58

Кл. (3;2): 12+2*2+2(3+2–3)+f₂(3+2-3)=20+40=60

Кл. (3;3): 12+2*3+2(3+3–3)+f₂(3+3-3)=24+38=62

n=4(март):

f₄(i) = 12 +2*х + h(i + x – 3) + f₃(i + x – 3)

Составим таблицу.

Таблица 4.

x i	0	1	2	3	4	5	x 4 (i)	f 4 (i)
0	*	*	*	80	82	84	3	80
1	*	*	78	80	82	84	2	78
2	*	76	78	80	82	*	1	76
3	74	76	78	80	*	*	0	74

Кл.(0;3): 12+2*3+2(0+3-3)+ f₂(0+3-3)=18+62=80

Кл.(0;4): 12+2*4+2(0+4-3)+ f₂(0+4-3)=22+60=82

Кл.(0;5): 12+2*5+2(0+5-3)+ f₂(0+5-3)=26+58=84

Кл.(1;2): 12+2*2+2(1+2-3)+ f₂(1+2-3)=20+58=78

Кл.(1;3): 12+2*3+2(1+3-3)+ f₂(1+3-3)=20+60=80

Кл.(1;4): 12+2*4+2(1+4-3)+ f₂(1+4-3)=24+58=82

Кл.(1;5): 12+2*5+2(1+5-3)+ f₂(1+5-3)=28+56=84

Кл.(2;1): 12+2*1+2(2+1-3)+ f₂(2+1-3)=14+62=76

Кл.(2;2): 12+2*2+2(2+2-3)+ f₂(2+2-3)=18+60=78

Кл.(2;3): 12+2*3+2(2+3-3)+ f₂(2+3-3)=22+58=80

Кл.(2;4): 12+2*4+2(2+4-3)+ f₂(2+4-3)=26+56=82

Кл.(3;0): 12+2*0+2(3+0-3)+ f₂(3+0-3)=12+62=74

Кл.(3;1): 12+2*1+2(3+1-3)+ f₂(3+1-3)=16+60=76

Кл.(3;2): 12+2*2+2(3+2-3)+ f₂(3+2-3)=20+58=78

Кл.(3;3): 12+2*3+2(3+3-3)+ f₂(3+3-3)=24+56=80

n=5(февраль):

f₅(i) = 12 +2*х + h(i + x – 4) + f₄(i + x – 4)

Составим таблицу.

Таблица 5.

x i	0	1	2	3	4	5	x 5 (i)	f 5 (i)
0	*	*	*	*	100	102	4	100
1	*	*	*	98	100	102	3	98
2	*	*	96	98	100	102	2	96
3	*	94	96	98	100	*	1	94

Кл.(0;4): 12+2*4+2(0+4-4)+ f₄(0+4-4)=20+80=100

Кл.(0;5): 12+2*5+2(0+5-4)+ f₄(0+5-4)=24+78=102

Кл.(1;3): 12+2*3+2(1+3-4)+ f₄(1+3-4)=18+80=98

Кл.(1;4): 12+2*4+2(1+4-4)+ f₄(1+4-4)=22+78=100

Кл.(1;5): 12+2*5+2(1+5-4)+ f₄(1+5-4)=26+76=102

Кл.(2;2): 12+2*2+2(2+2-4)+ f₄(2+2-4)=16+80=96

Кл.(2;3): 12+2*3+2(2+3-4)+ f₄(2+3-4)=20+78=98

Кл.(2;4): 12+2*4+2(2+4-4)+ f₄(2+4-4)=24+76=100

Кл.(2;5): 12+2*5+2(2+5-4)+ f₄(2+5-4)=28+74=102

Кл.(3;1): 12+2*1+2(3+1-4)+ f₄(3+1-4)=14+80=94

Кл.(3;2): 12+2*2+2(3+2-4)+ f₄(3+2-4)=18+78=96

Кл.(3;3): 12+2*3+2(3+3-4)+ f₄(3+3-4)=22+76=98

Кл.(3;4): 12+2*4+2(3+4-4)+ f₄(3+4-4)=26+74=100

n=6(январь):

f₆(i) = 12 +2*х + h(i + x – 3) + f₅(i + x – 3)

Составим таблицу.

Таблица 6.

x i	0	1	2	3	4	5	x 6 (i)	f 6 (i)
0	*	*	*	118	120	122	3	118
1	*	*	116	118	120	122	2	116
2	*	114	116	118	120	*	1	114
3	113	114	116	118	*	*	0	113

Кл.(0;3): 12+2*3+2(0+3-3)+ f₅(0+3-3)=18+100=118

Кл.(0;4): 12+2*4+2(0+4-3)+ f₅(0+4-3)=22+98=120

Кл.(0;5): 12+2*5+2(0+5-3)+ f₅(0+5-3)=26+96=122

Кл.(1;2): 12+2*2+2(1+2-3)+ f₅(1+2-3)=16+100=116

Кл.(1;3): 12+2*3+2(1+3-3)+ f₅(1+3-3)=18+100=118

Кл.(1;4): 12+2*4+2(1+4-3)+ f₅(1+4-3)=24+96=120

Кл.(1;5): 12+2*5+2(1+5-3)+ f₅(1+5-3)=28+94=122

Кл.(2;1): 12+2*1+2(2+1-3)+ f₅(2+1-3)=14+100=114

Кл.(2;2): 12+2*2+2(2+2-3)+ f₅(2+2-3)=18+98=116

Кл.(2;3): 12+2*3+2(2+3-3)+ f₅(2+3-3)=22+96=118

Кл.(2;4): 12+2*4+2(2+4-3)+ f₅(2+4-3)=26+94=120

Кл.(2;5): 12+2*5+2(2+5-3)+ f₅(2+5-3)=26+96=122

Кл.(3;0): 12+2*0+2(3+0-3)+ f₅(3+0-3)=12+100=113

Кл.(3;2): 12+2*2+2(3+2-3)+ f₅(3+2-3)=20+96=116

Кл.(3;3): 12+2*3+2(3+3-3)+ f₅(3+3-3)=24+94=118

Для получения оптимальной программы составляем сводную таблицу:

Таблица 7

Начальный запас i	n=1		n=2		n=3		n=4		n=5		n=6
	x1(i)	f 1(i)	x 2 (i)	f 2 (i)	x 3(i)	f 3 (i)	x4(i)	f4(i)	x5(i)	f5(i)	x6(i)	f6(i)
0	5	26	3	44	3	62	3	80	4	100	3	118
1	4	24	2	42	2	60	2	78	3	98	2	116
2	3	22	1	40	1	58	1	76	2	96	1	114
3	2	20	0	38	0	56	0	74	1	94	0	113

Найдем оптимальную программу выпуска продукции. Пусть запас на начало всего планового периода будет равен 0, тогда получим таблицу 8:

Таблица 8

Число шагов до конца планового периода	Запас на начало месяца	Месяц	Оптимальный выпуск	Запас на конец месяца
n=6	0	январь	3	0
n=5	0	февраль	4	0
n=4	0	март	3	0
n=3	0	апрель	3	0
n=2	0	май	3	0
n=1	0	июнь	5	2