2. Постановка задачи управления запасами.

Задача управления запасами играет в математическом программировании такую же роль, как законы Ньютона в физике. При этом основной целью является анализ динамических свойств процессов управления запасами.

Задача управления запасами - задача, по сути, разработки календарной программы выпуска изделия на плановый период, состоящий из N отрезков времени.

Известен спрос на изделие D_t для каждого отрезка времени t. Продукция, изготавливаемая в течение отрезка времени t (6 месяцев), может быть использована для полного или частичного покрытия спроса в этом отрезке времени t.

Для разных отрезков времени спрос неодинаков. Экономические показатели производства влияют на размеры изготавливаемых партий, поэтому бывает выгодно изготавливать в течение некоторого отрезка времени продукции больше, чем требуется, исходя из прогнозируемого спроса. Излишки хранятся до следующих периодов (отрезков времени). В то же время, хранение возникающих запасов связано с определенными затратами.

Необходимо разработать такую календарную программу, при которой общая сумма затрат на производство и хранение запасов минимизируется при условии полного и своевременного удовлетворения спроса на продукцию.

Количество периодов N	Спрос Dt	Затраты на хранение единицы продукции h	Функция затрат С(xt)	Запасы на конец планового периода iкон	Ограничения на it	Ограничения на xt
N = 6	D1=3 D2=4 Dt=3 T=36	h = 2	C(xt)=12 + 2xt	iкон = 2	it ≤ 3	xt ≤ 5

Исходные данные задачи. Вариант № 11

Построим математическую модель этой задачи.

Обозначим x_t – выпуск продукции в отрезке времени t.

I_t – уровень запасов на конец отрезка t.

D_t – спрос на продукцию в отрезке времени t, D_t ≥ 0.

Затраты для каждого периода t зависят от выпуска продукции, а также от уровня запасов i_t и периода времени t. Обозначим эти затраты как C_t(x_t,i_t), тогда целевая функция выглядит следующим образом: C_t(x_t,i_t)min (1)

Составим ограничения:

1. Будем считать, что объем выпуска – целочисленная величина

x_t=0,1,2,3,4,5 (2)

для t=1N

2. Предпологается, что на конец последнего отрезка времени N уровень запасов равен 2.

i_N=2 (3)

3. Условие полного и своевременного удовлетворения спроса в пределах каждого отрезка времени обеспечивается двумя ограничениями:

• Балансовое: уровень запасов на конец отрезка t равен уровню запасов на начало отрезка t плюс выпуск продукции в течение отрезка t и минус спрос на продукцию в течение отрезка времени t:

i_t=i_t-1+x_t-D_{t ,} тогда спрос D_t = i_t-1 + x_t – i_t. (4)

• Целочисленность уровня запасов: i_t=0,1,2,3 для t=1N-1 (5)

Таким образом, модель (1-5) адекватна поставленной задаче.

Рассмотрим N – количество отрезков времени. N = 6, плановый период – это январь, февраль, март, апрель, май и июнь. В этой постановке конечное состояние – это начало последнего отрезка планового периода, для нас 1 июня. Исходное состояние – начало первого отрезка (когда впереди N шагов).

Будем использовать систему индексов, при которой подстрочный индекс «1» соответствует конечному состоянию, а подстрочный индекс «N» соответствует начальному состоянию.

Обозначим «d_n» - спрос на продукцию на отрезке времени, отстоящем от конца планового периода на n шагов, включая рассматриваемый:

d₁ – спрос на июнь,

d₃ – спрос на апрель.

Обозначим C_n(x, i) – затраты на отрезке времени, отстоящем от конца на n шагов, связанные с выпуском x единиц продукции и затратами на хранение запасов, уровень которых на конец отрезка равен i единиц.

d₁=D_N, d_N=D₁, C₁(x,i)=C_N(x,i)

f_n(i) – минимальные затраты на n оставшихся отрезков времени при начальном уровне запасов i

X_n(i) – выпуск продукции, обеспечивающий достижение f_n(i)