3. Двойственная задача

Существующая уже достаточно давно фабрика «Заря» по производству постельного белья приступила к производству из остаточного материала кухонных полотенец, носовых платков и салфеток. Такая политика руководства направлена на максимально возможное использования всех имеющихся материалов и как результат повышение прибыли предприятия.

Таким образом, при минимальном использовании имеющихся остаточных материалов получаем следующую прибыль: от продажи одного полотенца – 9 (руб.), носовых платков – 2(руб.) и салфеток – 9 (руб.).

Составим двойственную задачу

-2x₁+3x₂+x₃-3x₄-x₅ = 2

x₁-2x₂+2x₃+2x₄+x₆ = 9

5x₁-4x₂+x₃-x₄ =9

Коэффициент с_j целевой функции исходной задачи - это свободные члены системы ограничений двойственной задачи.

Свободные члены системы ограничений исходной задачи – это коэффициенты целевой функции двойственной задачи.

max Z=18x₁-25x₂+3x₃+x₄+0x₅+0x₆

Составим целевую функцию двойственной задачи

min f=2y₁+9y₂+9y₃

-2y₁+y₂+5y₃ ≥ 18

3y₁-2y₂-4y₃ ≥ 25

y₁+2y₂+y₃ ≥ 3

-3y₁+2y₂-y₃ ≥ 1

-y₁ ≥ 0

y₂ ≥ 0

Находим оптимальный план

Y*=C*∙D^-1

C*- матрица коэффициентов базиса последней симплексной таблицы

D^-1- матрица обратная матрице из векторов базиса

Существует два способа нахождения D^-1

3. D^-1 – состоит из вектора базиса первой симплексной таблицы, координаты базиса берутся из последней симплексной таблицы

4. D – состоит из вектора базиса последней симплексной таблицы, а координат векторов из первой таблицы

Y* = C* x D^-1

A₇ A₆ A₈

-25 0,714 0 0,285

0 x 0,856 1 0,142

18 0,571 0 0,428

Y*=[(-25*0,714 + 0*0,856+18*0,571)+(-25*0 +0*1+18*0)+(-25*0,285+0*0,142+ 18*0,428)]=( -7,572; 0; 0,579)

Y* можно найти из последней симплексной таблицы исходного задания. Это оценки векторов, входящих в базис в первой симплексной таблице

(A₇; A₆; A₈) Y*=(-7,572; 0; 0,579)

Данный оптимальный план Y* подставляем в целевую функцию двойственной задачи.

min f=2*(-7,572)+0*9+9*0,579=-15,144 +5,211=-9,933

Результат подстановки оптимального плана практически совпадает с результатом подстановки оптимального плана исходной задачи. Можно сделать вывод о том, что фабрика «Заря» максимально использовала все свои ресурсы и увеличила прибыль. Однако в результате проведенных вычислений мы получили отрицательное число. Это свидетельствует о том, что даже при использовании оптимального плана фабрика «Заря» является нерентабельным предприятием.

4. Постановка задачи управления запасами

Задача управления запасами играет в математическом программировании большую роль. Основная цель – анализ динамических свойств процессов управления запасами.

Нужно разработать календарную программу выпуска какого-либо изделия на плановый период, состоящий из N отрезков времени. Заранее известен спрос D_t на это изделие для каждого отрезка времени t. Продукция, которая изготавливается в течение отрезка времени t, может быть использована для частичного или полного покрытия спроса в течение отрезка времени t. На экономические показатели производства влияют размеры изготавливаемой партии, поэтому бывает выгодно изготовить в течение некоторого отрезка времени t продукции больше, чем спрос на этом отрезке времени, а излишки хранить до следующих периодов. Но хранение возникающих запасов тоже связано с определёнными затратами. Надо разработать такую производственную календарную программу, при которой общая сумма затрат на производство и хранение запасов минимизируется при условии полного и своевременного удовлетворения спроса на продукцию.

Надо разработать календарную производственную программу выпуска керамической плитки, произведённой предприятием «Каскад» на плановый период, состоящий из N=6 отрезков времени (с января по июнь), при этом необходимо минимизировать затраты.

Заранее известен спрос на это изделие: D₁=2 (в январе) D_t=3 при t=2,...,6 (с февраля по июнь). Общие затраты для каждого отрезка времени t рассчитываются по формуле: C_t(x_t,i_t)=C(x_t)+hi_t

Где x_t – переменная величина, определяющая количество изделий, выпущенных в периоде времени t: x_t5

i_t – количество изделий, оставшихся на складе на конец периода времени t, причём количество изделий на складе на конец всего планового периода должно равняться заданной величине i_кон: i_t3, i_кон=1

C(x_t) – производственные затраты: C(x_t)=12+2x_t

Производственные затраты – это сумма условно постоянных затрат на переналадку оборудования – 12 и затрат, пропорциональных выпуску продукции – 2x_t;

hi_t – затраты на хранение изделия (складские затраты): h=2.