2. Симплексный метод решение задач линейного программирования.

На фабрике “Заря” имеется 3 ткацких станка, на которых изготовляется постельное белье. На одном из станков изготавливаются наволочки, на втором – простыни, а на третьем – пододеяльники. Нужно отметить, что простыни изготавливаются двух видов: полуторная и двуспальная. Известно, что прибыль (руб.) от продажи по фабричной цене одной наволочки составит 1, двуспальной простыни – (-25), полуторной простыни – 3, а пододеяльника – 18. Отрицательная прибыль от двуспальной простыни объясняется изменчивым спросом покупателей.

Сколько комплектов постельного белья должна изготовить фабрика, чтобы получить наибольшую прибыль.

F(x)=18x₁-25x₂+3x₃+x₄→ max

-2x₁+3x₂+x₃-3x₄ ≥ 2

x₁-2x₂+2x₃+2x₄ ≤ 9

5x₁-4x₂+x₃-x₄ =9

Приведем задачу к каноническому виду для того. Введем дополнительные переменные для того, чтобы убрать знаки неравенства.

-2x₁+3x₂+x₃-3x₄-x₅ = 2

x₁-2x₂+2x₃+2x₄+x₆ = 9

5x₁-4x₂+x₃-x₄ =9

Введем искусственные переменные x₇ и x₈

-2x₁+3x₂+x₃-3x₄-x₅+ x₇= 2

x₁-2x₂+2x₃+2x₄+x₆ = 9

5x₁-4x₂+x₃-x₄ +x₈=9

Дополнительные переменные входят в целевую функцию, а искусственные переменные входят в целевую функцию с коэффициентом М. Так как мы ищем max Ζ, то коэффициент М – отрицательное число. На основании этого изменим целевую функцию

Ζ=18x₁-25x₂+3x₃+x₄+0x₅+0x₆-Mx₇-Mx₈

Составим первую симплексную таблицу

i	Базис	С базис	A0	18	-25	3	1	0	0	-M	-M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	A7	-M	2	-2	3	1	-3	-1	0	1	0
2	A6	0	9	1	-2	2	2	0	1	0	0
3	A8	-M	9	5	-4	1	-1	0	0	0	1
m+1	Zj-Cj		0	-18	25	-3	-1	0	0	0	0
m+2	Zj-Cj		-11	-3	1	-2	4	1	0	0	0

Составим первоначальный опорный план x₀

X₀ (x₁=0; x₂=0; x₃=0; x₄=0; x₅=0; x₆=9; x₇=2; x₈=9)

Z (x₀)= -11M

Проверяем оптимальность данного плана по строке m+2. План не оптимален, т.к. есть Zj-Cj ≤ 0

Если оценки одинаковы, то в базис включается вектор, которому соответствует max [Ө_0j (Zj-Cj)]

Ө min (9/1;9/5)=min (9;1,8)=1,8

Выводить из базиса будем вектор A₈, а вводить A₁

Для перехода ко второй симплексной таблице используем метод Джордано-Гаусса

2 -2 3 1 -3 -1 0 1 0

9 1 -2 2 2 0 1 0 0 3 строчку * 0,2

9 5 -4 1 -1 0 0 0 1

2 -2 3 1 -3 -1 0 1 0

9 1 -2 2 2 0 1 0 0 3 строчку * (-1), прибавить ко 2-ой

1,8 1 -0,8 0,2 -0,2 0 0 0 0,2

2 -2 3 1 -3 -1 0 1 0

7,2 0 -1,2 1,8 2,2 0 1 0 -0,2 3 строчку * 2, прибавить к 1-ой

1,8 1 -0,8 0,2 -0,2 0 0 0 0,2

5,6 0 1,4 1,4 -3,4 -1 0 1 0,4

7,2 0 -1,2 1,8 2,2 0 1 0 -0,2

1,8 -0,8 0,2 -0,2 0 0 0 0 0,2

Заполним вторую симплексную таблицу

i	Базис	С базис	A0	18	-25	3	1	0	0	-M	-M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	A7	-М	5,6	0	1,4	1,4	-3,4	-1	0	1	0,4
2	A6	0	7,2	0	-1,2	1,8	2,2	0	1	0	-0,2
3	A1	18	1,8	1	-0,8	0,2	-0,2	0	0	0	0,2
m+1	Zj-Cj		32,4	0	10,6	0,6	-4,6	0	0	0	36
m+2	Zj-Cj		-5,6	0	-1,4	-1,4	3,4	1	0	0	0,6

Ө min (5,6/1,4)=4

Ө min (5,6/1,4; 7,2/1,8; 1,8/0,2)=min (4;4;9)=4

Выводить из базиса будем вектор A₇, а вводить A₂

5,6 0 1,4 1,4 -3,4 -1 0 1 0,4

7,2 0 -1,2 1,8 2,2 0 1 0 -0,2 1 строчку* (10/14)

1,8 1 -0,8 0,2 -0,2 0 0 0 0,2

4 0 1 1 -2,428 -0,714 0 0,714 0,285

7,2 0 -1,2 1,8 2,2 0 1 0 -0,2 1 строчку*1,2, прибавить

1,8 1 -0,8 0,2 -0,2 0 0 0 0,2 ко 2-ой

4 0 1 1 -2,428 -0,714 0 0,714 0,285 1 строчку*0,8, прибавить

1,2 0 0 3 -0,713 -0,856 1 0,856 0,142 к 3-ей

1,8 1 -0,8 0,2 -0,2 0 0 0 0,2

4 0 1 1 -2,428 -0,714 0 0,714 0,285

1,2 0 0 3 -0,713 -0,856 1 0,856 0,142

5 1 0 1 -2,142 -0,571 0 0,571 0,428

Составим третью симплексную таблицу

i	Базис	С базис	A0	18	-25	3	1	0	0	M	M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	A2	-25	4	0	1	1	-2,428	-0,714	0	0,714	0,285
2	A6	0	12	0	0	3	0,713	-0,856	1	0,856	0,142
3	A1	18	5	1	0	1	-2,142	-0,571	0	0,571	0,428
m+1	Zj-Cj		-10	0	0	10	22,144	7,572	0	-7,572	0,579
m+2	Zj-Cj		0	0	0	0	0	0	0	1	1

Не обращаем внимание на искусственные переменные.

Получаем оптимальный план

Х* (x₁=5; x₂=4; x₃=0; x₄=0; x₅=0; x₆=12; x₇=0; x₈=0 )

Ζ (Х*)=18*5+(-25)*4+3*0+1*0+0*0+12*0+0*0=90-100=-10