2.6. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Для расчета случайной доверительной погрешности результата измерений по формуленеобходимо знать параметр, для чего, в свою очередь, надо знать вид нормального распределениязначенийxвеличиныX, который должен быть известен либо из теоретических соображений, либо определен экспериментально по выборке очень большого объема. Поэтому, ставится задача найти наилучшее приближенное значение параметра, рассчитываемого по выборке конечного объема.

Таким наилучшим приближением или оценкой стандартного отклонения является величина

(2.6.1)

называемая выборочным среднеквадратичным отклонением(СКОx) результата наблюдения от среднего. Квадрат СКОназываютвыборочной дисперсией результата наблюдения.

При боль­шом числе наблюдений N– 1N, и величинапредставляет собой средний квадрат отклонения результата отдельного наблюдения от. Необходимость использования в выборках малого объёмаN– 1 вместоNпоясняется в математической статистике.

Параметр , называемый выборочнымсреднеквадратичным отклонением среднего(СКО) является наилучшим приближением к параметру. Его можно найти исходя из определения СКО. Для этого надо поставитьkсерий опытов поNизмерений в каждом, по каждой серии рассчитать,k=1,…Kи среднеепо всем сериям.

,, тогда.

Можно показать, что если рассчитывается по одной выборке объемаN, то.

Если СКО найдено, то, как было показано английским математиком В. Госсетом, писавшим свои работы под псевдонимом Стьюдент, случайную доверительную погрешность результата измерения рассчитывают по формуле

, с вероятностьюP,

где – коэффициенты Стьюдента, зависящие от доверительной вероятностиPи объема выборкиN, по которой рассчитываютсяи. Как правило, коэффициенты Стьюдента табулируют в видегдеN–1 – число степеней свободы выборки объемаN. При больших значениях (на практике приN ≥ 20) параметрыи, рассчитываемые по выборке конечного объема, переходят в параметрыинормального распределения, а коэффициенты Стьюдентаt_P, N – в коэффициентыt_Pдля нормального закона.

Для оценки случайной доверительной погрешности ре­зультата измерения её расчет можно производить по размаху выборки: x=_P,NR, гдеR=x_max–x_min– размах выборки.

Значения коэффициентов t_P,Nи_P,Nдля данных значений дове­рительной вероятности (по договоренности берут значениеР= 95%) и числаNнаблюдений в выборке приведены в приложении.

Окончательный результат измерения записывают в виде

с вероятностьюP.

Необходимо отметить, что при расчетах доверительной погреш­ности по Стьюденту результаты наблюдений должны принадлежать генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, что может быть проверено с помощью специальных статистических критериев. Для выполнимости этой процедуры выборка должна быть достаточно представительной (от 50 наблюдений и больше). Однако при малых объёмах выборок (N<< 15), что имеет место в работах лабо­раторного физического практикума, проверка выборок на принадлеж­ность нормальному распределению не производится.

Как уже упоминалось в §2.4, нормальному закону подчиняются физические величины, случайность которых обусловлена действием множества независимых (или слабо зависимых) малых аддитивных факторов, результат воздействия каждого из которых мал по сравнению с их суммарным воздействием. Сюда не подходят, в частности: 1) статистика радиоактивного распада и релаксации возбуждённых состояний атомов; 2) статистика очередей в теории массового обслуживания, например, время ожидания освобождения занятого телефона.