- •Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет н.П.Серебрянникова б.Е.Соботковский в.В.Морозов обработка результатов эксперимента
- •1. Основные понятия. Термины и определения
- •1.1. Измерение. Классификация измерений
- •1.2. Классификация погрешностей измерения
- •2. Обработка данных прямых измерений
- •2.1. Случайное событие. Вероятность.
- •2.2. Случайная величина. Выборка и генеральная совокупность.
- •2.3. Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений
- •2.4. Нормальное или гауссово распределение
- •2.5. Результат измерения. Доверительный интервал.
- •2.6. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение
- •2.7. Дисперсия суммы случайных величин. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение среднего
- •2.8. Выявление грубых погрешностей
- •2.9. Систематическая погрешность. Погрешность средств измерений
- •2.10. Расчет границы полосы погрешностей прибора. Класс точности прибора
- •2.11. Сложение случайной и приборной погрешностей. Полная погрешность измерения.
- •2.13. Запись и округление результата измерения
- •2.13. Алгоритм обработки данных прямых измерений по выборке
- •3. Погрешности косвенных измерений
- •3.1. Метод переноса погрешностей
- •3.2. Выборочный метод
- •3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей
- •3.3. Алгоритм обработки данных косвенных измерений выборочным методом Косвенные измерения
- •1. Выборочный метод (метод выборки)
- •Приложение
2. Обработка данных прямых измерений
2.1. Случайное событие. Вероятность.
1. Пусть при выполнении определенных условий происходит некоторое событие, которое мы будем называть "событием А". Каждый случай выполнения этих условий принято называть опытом или испытанием. Возможны три ситуации: 1) Событие А происходит всякий раз при осуществлении опыта или испытания. Такое событие называетсядостоверным. 2) Событие не происходит никогда (ни в одном испытании). Оно называетсяневозможным. 3) В каждом данном испытании событие А может произойти, но может и не произойти, причем точно указать, в каком испытании оно произойдет, а в каком – нет, заранее невозможно. Такое событие называютслучайным, исход испытания также является случайным.
Предсказание исхода того или иного испытания (произойдёт или не произойдет событие А в данном испытании) основывается на накопленном опыте. Для ситуаций 1 и 2 можно дать точное предсказание исхода будущего испытания. В ситуации 3 предсказание можно сделать лишь грубо ("в среднем"), указав, что событие может произойти лишь в такой-то доле от общего числа испытаний.
Несмотря на случайность исходов отдельных испытаний, при многократном их повторении мы можем наблюдать вполне определенные средние результаты. Тенденция стремления результатов испытаний к некоторому общему среднему результату при увеличении числа испытаний получила название статистической устойчивости. Существование статистической устойчивости основывается на предшествующем опыте или интуиции. Классическим примером являются опыты с подбрасыванием монеты. Выпадение герба при падении монеты в разных сериях испытаний происходит в числе испытаний, близком к половине общего их числа в серии. При увеличении числа испытаний в серии число выпадений герба всё больше приближается к половине общего числа испытаний в серии, т.е. к некоторому не случайному показателю.
Пусть в Nиспытаниях событиеА произошлоn(А) раз. Отношениеn(А)/Nназываетсяотносительной частотойили просточастотойпоявления событияА. Если провести несколько серий опытов поNиспытаний в каждой, то отношениеn(A)/Nбудет различным для разных серий, но при увеличенииNэто отношение будет стремиться к некоторому постоянному числу, называемому вероятностью появления событияА:
n(A)/NР(А) приN.
Вероятность является объективной характеристикой и математическим выражением возможности появления случайного события Ав каждом отдельном испытании. Нетрудно видеть, что вероятность принимает значения, лежащие в интервале от нуля до единицы, т.е. 0Р(А)1, причем для достоверного событияР(А) = 1, (n(А) =N), для невозможного событияР(А) = 0. (n(А) = 0).
Физическое содержание события Аможет быть различным. Таким событием может быть выпадение герба при бросании монеты, рождение мальчика или девочки, превышение температурой воздуха заданного уровня в течение выбранных суток и др.
2. В большинстве случаев мы имеем дело не с отдельными событиями, а с их комбинациями, в связи с чем встают вопросы определения вероятностей этих комбинаций на основе знания вероятностей отдельных событий или других комбинаций этих же событий.
Если появление одного из событий делает невозможным появление других в данном испытании, то такие события называются несовместимыми. Если в каждом испытании должно обязательно произойти одно из событий некоторой группы, то эти события образуютполную группу. Если события к тому же несовместимы, то они образуютполную группу несовместимых событий.
Пусть события А1, ...,ANобразуют полную группу и несовместимы. Тогда появление любого из этих событий в данном испытании есть достоверное событие, вероятность которого равна единице, т.е.
P(A1илиА2, ... илиАN) =
Если же вероятности этих событий равны между собой, то
откуда
Классическим примером рассмотренной ситуации является выпадение некоторого числа очков при бросании игральной кости, представляющей собой кубик с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, нанесенными на гранях. Выпадение каждой грани является случайным событием. Если кубик считать идеальным, то вероятности выпадения всех граней одинаковы. Выпадение одной из них исключает выпадение других, и события, состоящие в выпадении 1...6 очков, образуют полную группу несовместимых событий. Вероятность выпасть любому из указанных чисел равна 1/6. Вероятность получить число очков не менее 3 при одном бросании равна вероятности выпадения чисел 3, 4, 5, 6, т.е. (1/6)4 = 2/3.