3.2. Выборочный метод

Выборочный метод расчета погрешностей применяется в тех слу­чаях, когда значения каждой из совместно измеренных величин ,,... по отдельности не образуют выборок, но значения функцииобразуют выборку, то есть величинаfявляется некоторой физической константой, такой как ускорение свободного падения, вязкость жидкости, сопротивление проводника и т.п. Штрих у аргументов означает, что они содержат неизвестные постоянные приборные погрешности:,,.

Обработав полученную выборку значений функции с помощью стандартных приемов анализа данных прямых измерений, можно найти ее смещенное среднее значение и СКО среднего значения (либо размах выборки )

,, (3.2.1)

а затем вычислить ее случайную погрешность , либо.

Для определения приборной погрешности функции разложим i-ое смещенное значение функции

в ряд Тейлора в окрестности точки , координаты которой не зависят от приборных погрешностей:

(3.2.2)

где ,,,.

Ввиду малости приращений значения производных в точкеможно считать совпадающими с их значениями в экспериментальной точке. Смещенное среднее значение функции с учетом (2) будет равно

(3.2.3)

где – приборная погрешность функции,– частные приборные погрешности аргументов функции.

Согласно (3) истинное среднее значение функции будет равно , где ввиду неизвестности величин и знаков приборных погрешностей,,, приборная погрешность функциитакже неизвестна. Поэтому заменим приборную погрешность функцииее верхней границей. Тогда

где – верхние границы частных приборных погрешностей аргументов, вычисленные в точке.

Выражение для верхней границы приборной погрешности функции функции можно также записать в виде, удобном в ряде приложений,

где ,,.

Истинное среднее функции можно записать как . Тогда результат косвенного измерения с учетом его случайной погрешности можно записать в виде

,

где – полная погрешность функции.

При практических расчетах штрихи у аргументов функции и самой функции опускают.

Выборочный метод допустимо использовать и в том случае, когда значения аргументов функции образуют выборки. Тем не менее, не рекомендуется применение выборочного метода к нахождению результата косвенного измерения в тех случаях, когда возможно применение метода переноса погрешностей в связи с тем, что в выборочном методе случайная погрешность функции зависит от приборных погрешностей ее аргументов, что приводит к неоправданному дополнительному увеличению погрешности функции. Действительно, случайная погрешность функции в выборочном методе рассчитывается через разности вида

в которых, ввиду большого диапазона изменения значений аргументов и.

Заметим в заключение, что в том случае, когда функция fесть физическая константа, значение которой находится через наборы совместно измеренных значений аргументов функции выборочным методом, ее значение всегда можно найти методом наименьших квадратов (МНК), который будет рассмотрен далее.

3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей

Используется в случае, когда каждое из значений аргументов функции x,y,zизмеряется независимо от остальных в своей серии опытов, то есть образуют выборки (близки друг к другу). Число опытов в сериях не обязано быть одинаковым, требуется только неизменность условий для прямо измеряемой величины в своей серии, неизменность условий дляfво всех серияхи взаимная независимость всех опытов.

Таблица эксперимента в этом случае имеет вид

1. По формулам прямых измерений определяем величины ,x, θ_x;,y, θ_y;,z, θ_z.

2. Рассчитываем среднее значение функции = f(,,),

3. Вычисляем частные производные от функции или для легко логарифмируемой функцииf– от ее логарифмав точке.

4. Вычисляем случайную погрешность функции

(формула переноса погрешностей) или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции: .

5. Вычисляем верхнюю границу приборной погрешности функции или для легко логарифмируемой функции:

6. Рассчитываем полную погрешность функции

7. Записываем результат измерения и округляем его

xi									x=
yi									y=
x↑i									= , R=x↑1-x↑N=
Ui=(xi+1-xi)									UP,NR=
xi= xi –									xi=0
xi)2									xi)2=
= , , ,
y↑i									= , R=y↑1-y↑N=
Ui=(yi+1-yi)									UP,N R =
yi= yi –									yi=0
yi)2									yi)2=
= , , ,
=