2.4. Нормальное или гауссово распределение

Одним из часто встречающихся на практике распределений является нормальныйилигауссовскийзакон. Ему подчиняются физические величины, случайность которых обусловлена действием множества независимых (или слабо зависимых) малых аддитивных факторов, результат воздействия каждого из которых мал по сравнению с их суммарным воздействием. Плотность распределения вероятности нормального закона имеет вид

(2.4.1)

где x– случайное значение величиныX. Параметрx₀определяет центр распределения, а_xформу и ширину кривой плотности рас­пределения, что показано на рис. 2.2. В этом можно также убедиться, подставив (2.4.1) в (2.3.4), (2.3.5). Тогда получим, что, аили. Множительперед экспонентой, определяющий высоту гауссовской кривой, выбран таким образом, чтобы было выполнено условие нормировки (2.3.3).

Вероятность того, что случайное значение x величиныX, распределенной по нормальному закону, попадет в заданный интервал (x₁,x₂) равна площади под графиком функции плотности вероятностиf(x) в этом интервале.

(2.4.2)

Если интервал симметричный относительно x₀, то его границы можно записать в виде,, гдеt_P– коэффициенты, определяющие ширину интервала в единицах_x.

Вводя новую переменную , (2.4.2) можно записать в виде

. (2.4.3)

Вероятность Pпопаданияuв интервал (–t_P,t_P) для разных значенийt_Pможно найти, вычислив интеграл (2.4.3) численно. Соответствие между значениямиPиt_Pдля некоторых значений вероятностиPдается таблицей:

P	0.683	0.7	0.866	0.95	0.954	0.99	0.997
tP	1.0	1.14	1.5	1.9	2.0	2.58	3.0

Если значения коэффициентов t_Pнайдены, то от переменнойuможно вернуться к переменнойx. Тогда из неравенстваполучимс вероятностьюPилис вероятностьюP.

2.5. Результат измерения. Доверительный интервал.

Задачей эксперимента является оценка истинного значения физической величины, которое может быть получено, только если мы располагаем генеральной совокупностью всех значений искомой величины Х. Однако, в связи с тем, что количество наблюдений в выборке конечно, в опыте находят некоторое приближенное кx₀ значение, которое называютоценкой истинного значения, и указывают интервал, в который истинное значениеx₀попадает с заданной вероятностьюP. Этот интервал называютдоверительным, а вероятностьР–доверительной вероятностью.

В качестве оценки истинного значения выбирают среднее арифметическое результатов наблюдений в выборке

, (2.5.1)

которое называют также выборочным средним. Среднеетакже является случайной величиной, и если повторить опыт по его нахождению несколько раз, то получим выборку среднихX:,..., которые также будут отличаться друг от друга случайным образом, однако разброс средних значений будет заметно меньше разброса результатов отдельных наблюдений в каждой выборке.

Для нахождения доверительного интервала необходимо знать распределение средних значений околоx₀. Зная вид, можно построить интервал, в который истинное значениеx₀попадает с вероятностьюР. Для этого на оси абсцисс (рис. 2.5.1) находят точкиx₁и x₂такие, чтобы площади под графикомслева отx₁и справаx₂равнялись бы одной и той же величине. Тогда площадь под графикомв интервале (x₁,x₂) будет равна значению вероятностиP, и для произвольного полученного в опыте среднего значения можно написать:x₁ <  < x₂cвероятностьюР.

Границы интервала можно записать в виде: ,. Если распределениесимметрично, то. Величинув этом случае называютслучайной доверительной погрешностьюрезультата измерения.

Можно показать, что если значения x величиныXраспределены по нормальному закону, то и рассчитываемые по ним средние значениятакже распределены по нормальному закону с центром в точкеx₀и шириной распределения, гдеN– объем выборок, по которым рассчитываются. Распределение средних будет описываться формулой (2.5.1), в которойxзаменено на, ана.

Если средние значения распределены по нормальному закону, то задача нахождения доверительного интервала сводится к нахождению доверительного интервала (–t_P,t_P) для стандартизованной переменнойи переходу к доверительному интервалу переменной. Решение этой задачи рассмотрено в предыдущем разделе. В результате получим, что границы интервала, в который случайное значениепопадает с вероятностьюP, определяется неравенством

с вероятностьюP.

Откуда для границ доверительного интервала x₀получаем

с вероятностьюP,

где t_p– коэффициенты, соответствующие заданной вероятностиР.

Это неравенство принято записывать в виде символического равенства

с вероятностьюP, (2.5.2)

где – случайная доверительная погрешность результата измерения.