Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Совершенно секретно.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
10.09.2019
Размер:
781.31 Кб
Скачать

Московский авиационный институт

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Курсовая работа

по численным методам

на тему: Решение дифференциальных уравнений.

Выполнил студент

II курса группы с-208

факультета «Стрела»

Шарапов Максим.

Жуковский, 2001.

Оглавление.

Курсовая работа 1

по численным методам 1

на тему: Решение дифференциальных уравнений. 1

Оглавление. 3

§ 1. Общая постановка задачи. 4

§ 2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши. 4

§ 3. Метод конечных разностей. 5

§ 4. Метод Галеркина. 6

§ 5. Метод прогонки. 6

§6. Программы. 8

§ 7. Результаты. 12

§ 1. Общая постановка задачи.

В курсовой работе по численным методам требуется решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения вида: Решение необходимо произвести независимо тремя методами:

  1. Методом сведения краевой задачи к задаче Коши.

  2. Методом конечных разностей.

  3. Методом Галёркина.

Задание (вариант № 28).

§ 2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение:

(1),

где функции: p(x), q(x), f(x) непрерывны. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

(2),

где: - заданные константы, причем: и

Решение будем искать в виде:

y = cu + v (3),

где: u = u(x) – ненулевое решение соответствующего неоднородного уравнения:

(4),

а v = v(x) – какое-нибудь решение данного неоднородного уравнения (1):

(5).

Очевидно, что функция, определенная формулой (3) является искомым решением уравнения (1), где с – произвольная постоянная.

Потребуем, чтобы первое краевое условие (2) выполнялось для y при любом с. Используя его, будем иметь:

или:

(6).

Для того чтобы последнее равенство было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при с обращался в 0, т.е., было выполнено следующее:

(7),

(8).

Для обеспечения равенств (7-8) достаточно, например, положить:

(9),

где: k – постоянная, отличная от 0;

(10),

если и:

(11),

если

Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши для однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9), а v есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (10) или (11). При этом для любого с функция y = cu + v удовлетворяет краевому условию на конце x = a.

Подберем постоянную c так, чтобы функция y удовлетворяла краевому условию (2) на другом конце отрезка y = b. Это дает: откуда: При этом предполагается, что знаменатель этого выражения отличен от нуля:

(12).

Таким образом, краевая задача (1-2) сведена к двум задачам Коши для функций u(x) и v(x).

Замечание 1. Если выполнено условие (12), то краевая задача (1-2) имеет единственное решение. Если же условие не выполняется по каким-либо причинам, то исходная задача может либо –вообще не иметь решений, либо их бесчисленное множество.

Замечание 2. Если исходное уравнение (1) является однородным, т.е.: f(x)  0, и кроме того, A = 0, то в силу условий (10) или(11) имеем: т.е., v  0. Поэтому: y = cu(x), где u(x) – решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9). Очевидно, в этом случае:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.