Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

с

с

~

1Р (х) dx

сходится,

то

~

f (х) dx также

сходится.

а

а

Теорема 11'.

Если

на

отрезке [а, с]

функции

с

~

q, (х)dx

а

-

функция,

резке

[а,

с],

разрывная только

с

рал

~

1f

(х)1dx от абсолютной

а

то

сходится

также интеграл

в

точке

с, и несобственный

интег-

величины

этой функции сходится,

с

~

f (х)dx

от самой функции.

а

знаком

несобственного

интеграла,

часто

берут

с

1/(с-х)а.

Легко проверить,

что

S(с

\)аdx

сходится

а

расходится

при а ~

1.

Это же

относится

и

к

с

а)аdx.

интегралам 5(х

1

а

1

Sу-

1

0

х+

Р е ш е н и е. Подынтегральная

функция разрывна

в

левом

конце

отрезка

1]. Сравнивая

ее с

функцией

,; - , имеем

У

1

<

,~-.

1'

х

х+4х

3

1'

х

1

S

dx

существует.

Следовательно.

несобствен-

Несобственный

интеграл

x'I•

т.

е.

s

,r

0

r

1

·-"

х+4,г

лучим более

точное значение

ную кривую

у= f (х) заменим

в формуле прямоугольников,

если

дан­

не ступенчатой

линией, как это

было

а вписанной

ломаной

(рис.

228).

1

А

2

А

Уо t

Ап_

1

В.

Так

площадь

как площадь

первой

из этих

второй

равна

Yi ~ У

2

Лх

и

ь

sf

(х) dx ~ (Уо1 У1

Лх+У1tY2

Лх+ ... +Уп-i2+Уп Лх)'

или

а

ь

sf (х)dx

~ Ьn а (Уо1

Уп+У1+Уз+• .. +Уп-1)

•

что число,

стоящее в

арифметическое чисел,

стоящих

в правых частях формул (1) и

(1').

Число

п выбирается произвольно. Чем

больше

интеграла.

III.

Формула

парабол

(ф о р

м у л а

С и

м п с о н

а) . Разде­

лим отрезок

[а,

Ь]

на

четное

число

равных частей

п = 2m. Пло­

щадь

криволинейной

трапеции,

•~--2u__,=_ll_,,c.t_.cc_.~_.r,__,-п'--,-fZ'n__."'_ь.,.._,~.'d

0

Рис.

228.

соответствующей

первым

двум

отрезкам

[х0, х1] и

[xi,

х2]

и

огра­

ниченной заданной

кривой

у=f (х),

заменим

площадью

криволиней­

0

), М

(рис.

Коэффициенты

А, В

что

парабола проходит

параболы строим

и для

через три

других пар отрезков.

Сумма площадей