Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

Рассмотрим

тело,

аАВЬ,

ограниченной

кривой

у= f (х),

Ох

и прямыми

Х=а,

х=Ь.

оси

абсцисс,

есть

которого Q = пу

2

=

=n[f(x)]

•

2

Применяя

общую

формулу

для

по­

лучим

формулу для

вычисления

объема

тела

вращения:

v=n ~ y

2

dx=n ~ [f (x)]

2

dx.

а

а

П р им

ер.

Найти

объем

образуемого

вращением

цепной

у=; (e-*+e-xfa) вокруг оси

тела,

линии

Ох

на

участке

от

х=О

до

х=Ь

(рис.

243).

Решение.

ь

ь

v=n а;

s(extri+e-xf.a)2 dx =п:2 s(e2xta+2+e-2xfa)

dx=

=n:

(е2Ь/а_е_ 2Ьfа)

2

3

у= f (х)

вокруг оси

участке

а~ х ~ Ь.

Ох. Определим

площадь этой поверхности на

Функцию

f (х)

предположим

непрерывной

x1_i < s1 < xi;

'

Лхj

следовательно,

Лsi =

= 2nYi-ii YiJ71

+f'(si)

Лхi.

Площадь

2

п

Xj-Xj-1

{ '

1 =

V 1+f'(si) Лхi,

ЛР

2

поверхности,

описанной

жение

s=b.

1)

Если

сила F

постоянна,

дением

силы

F на

длину пути,

е.

представляет

собой

ного отрезка мы принимаем силу

F за

пос­

= F (st).

В та­

ком случае выражение

F (s ) Лsi

при

дос­

1

приближенное

таточно малом Лsi дает

нам

п

ленную

для

функции F=F (s)

на отрезке [а,

при

max Лs

1

-+ О существует

и выражает

пути

от

точки s = а до точки

s = Ь:

ь

а

Ь]. Предел этой суммы

работу силы F (s)

на

Пр

им ер

1. Сжатие

S

силе

F.

Вычислить

работу

силы

F

при сжатии пружины на 5

сжатия

ее на

I

см

нужна

сила 10

Н

(рис.

245).

Р е ш е н и

е.

Сила F

и

перемещение S

связаны по условию

F=kS, где

k-постоянная.

Будем

выражать S в метрах, F-в

I0=k•0,01,

откуда k=lO00,

F=l000S.

0,05

А=

S

о

Сила F,

r, которой

знака), находящийся

электрический

заряд

от него на расстоянии

Определить

работу силы F

щей

от

е1

на

расстоянии г1,

полагая,

что

заряд е1 помещен

при перемещении заряда е2

из точки Ai, отстоя­

в

точку

А2,

отстоящую

от

е1 на

расстоянии

г2,

в

точке

А0,

принятой

за

начало

отсчета.