Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

.pdf

Скачиваний:

7612

Добавлен:

10.09.2019

Размер:

31.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4340 41 42 43 > Следующая >>>

19]

ФОР.МУЛА

ЧЕБЫШЕВА

391

(х)

на

отрезке

[

а,

Ь]

всегда

может

быть

сведена

интеrрирова

нию некоторой другой функции							q, (х) на		отрезке [	-1,	1].
Итак,	задача	свелась к		тому,				чтобы	в формуле
	1						+ f (х2) + ... + f (хп)]
	~ f	(х) dx =	Сп	[f (xJ			+ f (х2) + ... + f (хп)]
	-r
подобрать	числа	Сп, xi,	х2	,	•••	,		хп так,	чтобы эта	формула
точной для всякой функции					f	(х)		вида

(6) была

(х)

а	0

а~

...

an_

xn-

1	•

(7)

Заметим,			что
1			1
~	f(x)dx= ~ (a0 +a1x+a~2 + ... +aп_1xn-1)dx=
-1		( а0	-1	;в + ... + ann-i ),еслип-		число
= { 2		( а0	+ ~ +aJ +	;в + ... + ann-i ),еслип-		число
			2
	2	( а	+ ~ + ... + :п-; ), если п-		число	четное.
		0	2
			2

нечетное;

(	)
8

другой

стороны,

сумма,

стоящая

правой

части

равенства

(6), на	основании (7)	будет равна
Сп [па0	+а1 (х1+х2+	... +хп) +а2	(xi+x~+ ...
		. . . +ап_1 (х~-1 +х1-1

+x7i)	+...	)].
+ ... +х~-		)].
	1

(9)

Приравнивая должно быть

выражения справедливо

(8) при

и	(9),	получим	равенство,	которое
любых		а0, а10	а2, ••• , ап_	1:

2	( а0	+ ~2	+ а4	+а;+
		2	5
		2	(xi+x~+ ...
		+а	(xi+x~+ ...

... )=

+х~) +

Сп[па0+а	1
... +ап-~

(х1	+х2+
(х1-		+х-1-
	1

.. •+хп)+

+ ... +х,;-

)].

	Приравняем коэффициенты	при
вой	и правой частях равенства:

а2

а3

•••

an-:f

ле

2=С	п		или	С	2
		'			= -
п				п	п.

х1+х2 +		... +хп=О,
2+	2+	•..	+	2	2	n
Х1	Ха	•..		Хп= ЗС		=3•
					п
х~+х:+ ... +х~=О,
~+Х:+ ... +х~= ~п= ~•

(10)

•

••

Из последних п- 1 Эти решения найдены

уравнений находим абсциссы	Хн х2, ••• ,
Чебышевым для различных	значений

хп. n.

Ниже приводятся найденные	им решения в
промежуточных точек равно	3, 4, 5, 61 7,

случаях, 9:

когда

число

10]

ИНТЕГРАЛЫ,

ЗАВИСЯЩИЕ

ОТ

ПАРАМЕТРА.

ГАММА-ФУНI(ЦИЯ

393

числим

послед.киii:

интеграл,

приняв

n=3,

по

формуле

Чебышева:

s1 f

(t)

(0,707i07)+f

(0)+f

(-0,707107)].

Так		как f
1
S		dt
S	3	+t =
	3
-1

	-1
(О,707107)=0,269752,		f(0)=0,333333,	f(-0,707107)=0,436130,		то
2			2	:::: о,693.
3	(О,269752+0,зззззз+о,4з61зо) =з· 1,оз9215=О,692s10			:::: о,693.
3

Сравнивая

этот

результат

результатами

вычисления

по

формулам

пря

моугольников, по формуле трапеций	и формуле
дыдущем параграфе), мы замечаем, что	результат,

Симпсона (см. пример	в пре
полученный нами по формуле

Чебышева значением (с девятью

(с тремя промежуточными точками), лучше
интеграла,	чем	результат,	полученный
промежуточными точками).

согласуется
по	формуле

истинным трапеций

Оrметим, что теория		приближенного	вычисления
получила дальнейшее	развитие в работах		академика
лова (18631945).

интегралов А. Н. Кры

§ 10. Интегралы,	зависящие		от параметра.
Д и ф ф е р е н ц и р о в а		н и е и н т е r р ал о в,
параметра. Пусть	дан	интеграл
		ь
	/(а)= ~		f (х, а)dx,
		а

Гамма-функция
з а в и с я щ и х	о т

( 1)

в котором подынтегральная
метра а. Если	параметр а

функция зависит	от	некоторого пара
будет меняться,	то	будет меняться и

значение интеграл

определенного есть фу н к ц и

интеграла. Таким образом, определенный я от а; поэтому мы его можем обозначить

чiрез 1.

/ (а). Предположим,

что

(х,

а)

(х,

а)

непрерывные

функ

ции

при

c~a~d

а~х~Ь.

(2)

Найдем

производную интеграла			по	параметру		а.:
·m	/ (а+Ла)-/ (а)
ll	л				/~ (а).
Лr:х.,-+О	л	а			/~ (а).
Лr:х.,-+О		а

Для

нахождения

этой

производной

заметим,

что

/(а+Ла)-/(а) Лсх;

л~[J

(х,

o.+Лo.)dx-ff(x, o.)dx]~
ь
-sf (х,	а+Ла.)-f
-	Ла

(х,

а.)

х.

394

ОПР.ЕД:ЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

[ГЛ.

Применяя иметь f (х,

теорему Jlarpaнжa и	подынтегралъвой функции, будем
а+лла2-f(х, а)=/~ (х,	а+0Ла), где О< 0 < 1. Так как

f~ = к

(х,	а)	непрерывна в			замкнутой области (2), то			f; (х, а+в Ла) =
f~	(х,	а) +е,	где	величина		е, зависящая от х,			а, Ла, стремится
нулю		nри Ла-O.			Таиим	образом,
				ь		а)	ь		ь
/	(а+Л,z}-/		(rt)	s[f~ (х,		а)	+eJ dx= sf~ (х,	а)dx+ sedx.
/	(а+Л,z}-/		(rt)
		Лrх.
				а			а		а
Переходя к			пределу при			&	-+ О, получаем*)

•
1
1m
Ла.

/(rх.+Ла)-1(а)_
л	-
	а.

				ь	(
1	,	(	)-St•		(
1	а	а	-	а.	х,
	а	а	-	а.	х,
				а

)dx

или

[ Sьf а

(х,

а) dx	]'	ь
а) dx		= Sf~
	а,	а

{х,

а)

dx.

Последняя формула называется			формулой Лейбница.
2. Предположим	теперь, что в		интеграле (1) пределы
тегрирован и я а	и Ь	являются		функциями	от а:
				ь (а.)
/(а)=Ф[а,		а(а), Ь(а)]=		S f(x, a)dx.
				а (а.)

ин

(1')

[а,

(а),

(а)]

есть

сложная

функция

от

а,

причем

являются

промежуточными

аргументами.

Для

того

чтобы

найти

производную ной функции

от/ (а), применим правило от нескольких переменных

дифференцирования слож

(см. § 10 гл. VIII)

/'{а)=

дФ да

+ дФ да

da da

+ дФ д/J

.!!:!!_ da

•

(З)

На	основании		теоремы	о	дифференцировании
интеграла		по переменному		верхнему пределу		(см.
		ь
	~~	=:ьSt<x, a)dx=f[b(a), а],
		а

определенного
§ 4)	получаем

Ь ~~ = :asf (х,

а ------

а)

а dx=-:as t (х, Ь

а)dx=-f[a (а), а]. ь

•)

да -

Подынтеrральная О. Из того, что

функция в интеграле		/ = Sе
		а
подынтегральная	функция		в

da. стремитсл к нулю nри

каждой точке стремится

к в

нулю,	не всегда
данном	случае /

следует,	что	интеграл
стремится	к	нулю при

также Ла-

стремится	к
О. Этот факт

нулю. Однако

мы принимаем

без

доказательства.

396

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

(ГЛ.

П р и м е р 2. Гамма-функция.

Рассмотрим интеграл, зависящий

от

параметра

а,

+оо
~	ха-1е-х dx.
о

(6)

Покажем, что этот несобственный	интеграл	существует	(сходится)
Представим его в виде суммы

Первый

+оо			е-х dx =
~	ха-	1
~	ха-
О
интеграл	правой части
			1
	О		< Sха.-
			о

	1	ха.-1е-х dx		+<Х>		ха-		е-х dx.
	~	ха.-1е-х dx		+	~	ха-	1	е-х dx.
							1
О					1
сходится,			так	как
			1		dx =		~.
1	е-хdx < Sха.-1				dx =		~.
1
			о

при

а>

О.

Второй интеграл		также		сходится.			Действительно,			пусть п-	целое
что п > a-l.	Тогда,		очевидно,
		О <	+<Х>		ха-	е-х dx <		+<Х>	xne-x dx < +оо.
		О <		~	ха-	е-х dx <		~	xne-x dx < +оо.
					1
				1				1

число

такое,

Последний ТОГО, Ч1'0

интеграл

вычисляем

путем

интегрирования

по

частям

учетом

(7)

при рую

любом целом	положительном		k.
функцию а. Ее		обозначают Г	(а)
			+ 00
		Г (а)=	~
			о

Итак, интеграл		(6)	оnределяет
и называют	гаммафункцией:
ха-1е-х dx.

некото

(8)

Эта ния

функция Г (а) при

часто	используется
целых	а. При а=

в 1

приложениях имеем

математики.

Найдем

значе

Пусть

		+со
		Г(l)=	~	e-Xdx=1.
			о
целое	а > 1.	Интегрируем по	частям:		<Х>+(а-1)
Г(а)=+{ха.-1е-хdx=-xa.- e-x 1+					<Х>+(а-1)
			1
	о			о

~ о

(9)

или,

учитывая

(7),

(а)=(а-1)

(а-1).

(10)

На

основании

(10)

(9)

находим r

при a=n

(n) =(n-1)!.

(11)

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4340 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
05.03.20216.51 Mб29Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа (2016).cpio
#
16.06.2020740.95 Кб81Красовская Т. Ф. Операционное исчисление.pdf
#
10.09.201931.63 Mб7612Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.pdf
#
17.06.2020429.79 Кб90Фарфоровская Ю. Б. Математика. Дискретное и быстрое преобразование Фурье.pdf