Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

.pdf

Скачиваний:

7612

Добавлен:

10.09.2019

Размер:

31.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4341 42 43 > Следующая >>>

ГЛАВА

XII

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

МЕХАНИЧЕСКИЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

Вычисление

площадей

прямоугольных

координатах

	Если	на отрезке Га,
(§	2, гл.	XI), площадь
кривой у= f (х), осью Ох

Ь]	функция	f	(х) ~ О,	то,	как	известно
криволинейной			трапеции,		ограниченной
и	прямыми	х =аи х =		Ь (рис. 214), равна
	ь
Q= ~ f(x)dx.						(1)

Если

(х)

на

[

а,

" то

определенный

интеграл

ь ~

(х)

также ~ О.	По абсолютной
ветствующей	криволинейной

величине трапеции:

он	равен
	ь
-Q = ~

площади (х)dx.

соот-


	Если	f (х) конечное			число раз меняет
то	интеграл		по всему		отрезку		[а,	Ь] раз-
биваем		на	сумму	интегралов			по	частич-
ным отрезкам. Интеграл будет							положите-
лен	на	тех	отрезках,		где f	(х) ~ О, и			от
рицателен там. где				f (х) ~О.		Интеграл			по

" знак

на

отрезке

[а,

всему	отрезку		даст	соответствующую ал
гебраическую			сумму	площадей, лежащих
выше	и	ниже	оси	Ох	(рис.	232).	Для
того	чтобы получить				сумму	площадей в
обычном		смысле, нужно			найти сумму		абсо-
лютных		величин интегралов по				указанным
					ь
числить		интеграл Q = ~ 1f (х)1dx.

Рис. 232.

выше отрезкам или вы

	Пр	им ер 1.	Вычислить			площадь Q	фигуры,
y=sinx		и осью Ох,		при	о..._х..._2п: (рис.		233).
14	Н. С.	Пискунов,	т.	I

ограниченной

синусоидой

З]

ДЛИНА

ДУГИ

:К.РИВОЙ

407

где с:р (t) водными, В этом у= f (х),


и 'Ф (t) - непрерывные функции с непрерывными						произ
причем	с:р' (t)	на заданном участке не обращается				в нуль.
случае	уравнения		(4) определяют некоторую функцию
непрерывную		и	имеющую	непрерывную	производную

dy	'Ф' (t)
dx= !р' (t)·				Ь = <р
	Пусть	а= с:р (rx),
становку		х = <р (t),	dx = с:р'

(13). Тогда, сделав

(t) dt, получим

интеграле

(2)

под

13 s=S

, y1+[~,~h]

c:p'(t)dt,

или

13	2	+[чi'(t)]	2	dt.(5)
s=SV[ep'(t)]	2		2
s=SV[ep'(t)]
0G

меч

ан и е

Можно

доказать,

что

формула

(5)

остается

в силе и прямыми кривых),

для таких		кривых,			которые пересекаются				вертикальными
более	чем		в	одной точке		(в частности,			для замкнутых
лишь	бы	во		всех	точках	кривой	были	непрерывны обе

производные

ер'

(t)

'Ф'

(t).

ных

Пр им ер	2.	Вычислить длину астроиды				х=а cos	3	t, у=а sin	3	t.

Решение.		Так как	кривая	симметрична		относительно обеих			координат
осей, то	вычислим		сначала	длину ее	четвертой			части, расположенной

первом

квадранте.

Находим

dx dt=-Зacos

tslnt,

dy dt=Зasin2

tcost.

Пара•

метр

будет

изменяться

от

до

n/2.

Следовательно,

n/2	---,----,----,,----,--....,,...			n/2
1s = Sf9a2 cos4		t sln2	t+9a2 sln4 t со;;2 t_dt=Зa Sуcos2
Q			n/2	о
			n/2	sln	2	t
				sln	2	t
				2
			=За Ssin / cos t dt=Зa--
			о

t sin		2	t dt=

/п/2	=			За	;
q
			2

s=ба.

3 а меч ан и е	3. Если задана
параметрическими	уравнениями

ростр

ан

ст

венная

кривая

x=c:p(t),

у=ч,(t),

z=x(t),

(6)

где (так

а~ же

t ~~ как и

(см. для

§ 1 гл. плоской

IX), то длина ее дуги) как предел,

дуги определяется к которому стре

мится

длина

вписанной

ломаной,

когда

длина

наибольшего

звена

стремится к нулю. Если функции ер (t), 'Ф (t) и

и имеют непрерывные производные на отрезке

х, (t)	непрерывны
[а, ~],	то	кривая

имеет определенную			длину (т. е. для		нее существует
ный	предел),	которая вычисляется		по формуле
		f}				+[x' (t)J
		s= ~	1	(t)]	2		1	dt.
		s= ~	У[ер' (tH +[чi'	(t)]				dt.
		а

вышеуказан

(7)

Поеледний

результат мы

принимаем

без

доказательства.

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4341 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
05.03.20216.51 Mб29Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа (2016).cpio
#
16.06.2020740.95 Кб81Красовская Т. Ф. Операционное исчисление.pdf
#
10.09.201931.63 Mб7612Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.pdf
#
17.06.2020429.79 Кб90Фарфоровская Ю. Б. Математика. Дискретное и быстрое преобразование Фурье.pdf