Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

.pdf

Скачиваний:

8042

Добавлен:

10.09.2019

Размер:

31.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4330 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

З]

ПРАВИЛА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:

BEl(TOPOB

297

Следовательно,

(1)

1I.	Г/роизводная
жается	формулой

от

скалярного

произведения	векторов	выра
		(II)

	Действительно,		если	r 1 (t),	r 2 (t)	определены
то,	как	известно,	ска,Тiярное		произведение этих
		r1 (t) r2		(t) =1Р1Ч>2+'Ф1'Ф2+Х1Х2•
Поэтому

формулами (3):,

векторов равно

d(r1r2) -d-t-

,,1, +

•

Ч>1Ч>2

IР1Ч>2

'Ф1'1'2

'Ф1Ф2

Х1Х2

Х1Х2 =

(ср~ср2 +~'Ф2 +х~х2) +

(q\cp; +'1'11\J; +х1х;) ~

(cp~i

+ 1J,;J + x~k)(cp2i +

'Ф2i+

X2k) +

+r1 ~

+(q>ii+1JJJ+x1k)(cp;i +'i';J +x;k)

= d~

•

Теорема доказана.
Из формулы (11)	получается			важное следствие.
Следствие. Если		вектор	е	единичный, т. е.

то

его

производная		есть	вектор,
Доказ	а тел		ьс тв о.
Возьмем		производную

к	нему		перпендикулярный.
Если		е-единичный вектор-,		то
по	t	от	обеих частей последнего

ее= l. равен-

ства:

dе dt

de dt

или

de dt

т.

е.

скалярное

ПfЮИзведение

de dt

= О,

это

означает,

что

вектор

de dt

перпендикулярен

век-


тору е.		Если f (t)-скалярная функция
	111.	Если f (t)-скалярная функция
то	производная		от	произведения f (t)

и r

r (t) -векторная функция,

(t) выражается формулой

d(fr)
dt	-

_dfr+fdr
dt	dt"

(111)

До к а з			ат ель ст в о.	Если вектор r (t)
лой	(1),	то
		f (t) r (t) = f (/) ер (t) i + f (t) ,j, (t) J+f

определен (t) 'Х (t) k.

форму•

По d (f

(

формуле dtr (t)) =

(2) ( :~

получаем q> + f :r)i

( :~

,i,

:r)

+(:~

'Х

~~)

k =

df =dt

(

cpi+·• ФJ+x.k)+

(dq, •	d'ФJ
dtt+dt

ах +dt

)

df =air+

dr dt

•

зоо

ПРИЛОЖЕНИЯ:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ:

[ГЛ.

Угол Лq,	при вершине
касательной	к	кривой при
соответствует		приращению

этого треугольника
переходе из	точки
длины дуги	Лs. Из

есть	угол поворота
А в	точку В, т. е.
треугольника BJ(L
	1

находим

L1J( =

1Ла

/ =

sin

~q,

sin

~q,

(так как Iа1= 1).	части
Разделим обе

последнего

равенства

на

Лs:

1ЛаЛs

1sin	Лер
	2
Лs

	Лq,
sin	2
Лер
2

Лq, Лs

Перейдем к	пределу в
Лs-+- О. В ·левой части

обеих частях получим

последнего

равенства

при

1.	1ла1	=	j daJ
1m	-	=	-	•
дs-+О	Лs		ds	•

Далее,

так как в	данном
существует	предел

			sin Лq,
	lim		.	2
	lim		~=1,
	Лs О		~=1,
	Лs О			72
				72
случае		мы		рассматриваем	такие
lim	лЛq,	и,	следовательно,		Лq,-	О
дs-+ О	s

Таким

образом,

после

перехода

пределу

получаем

кривые, при Лs-

что О.

ла\= ds

lim дs-+О

\Лq,j Лs

•

(4)

Отношение к точке В

угла поворота Лq, к длине Лs дуги

касательной АВ, взятое

при переходе от точки А по абсолютной величине,

называется,

так

же

как

для

плоской

кривой,

средней

кривизной

данной

линии

на

участке АВ:

средняя кр,ивизна

\·

Предел в точке

средней кривизны А и обозначается

при Лs-+ О буквой J(:

называется

кривизной

линии,

Но

этом

случае

из

}( =	lim		IЛЛq,\·
	Лs-+0			s
равенства		(4)		следует,

что

1::1=1(,

т.

е.

длина

производной

от

единичного

ве1пора

касательной

по

длине

мы

*) Напоминаем,

можеы говорить

что произво,:~.ная вектор

о д л и н е производной.

есть

вектор,

поэтоыу

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4330 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
05.03.20216.51 Mб39Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа (2016).cpio
#
16.06.2020740.95 Кб91Красовская Т. Ф. Операционное исчисление.pdf
#
10.09.201931.63 Mб8042Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.pdf
#
17.06.2020429.79 Кб101Фарфоровская Ю. Б. Математика. Дискретное и быстрое преобразование Фурье.pdf