Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1
.pdf
УПРАЖНЕНИЯ
К
ГЛАВЕ
Х
851
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
Зх-1 |
|
|
|
|
|
||||
Otn8. |
arotg(2t-l)+c. |
107. |
5Зх2-2х+2 |
. |
Отв. |
УБ arctg УБ |
+с. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
108. |
S |
(6х-7) dx |
|
Отв. |
lnl3x |
|
-7x+II l+C. |
109. |
s(Зх-2) dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Зx2 |
_7x+ll. |
|
|
|
5'х>I-Зх+ |
2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
10~-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зх-l |
|
|
|
|
|
|||||||||
Отв. |
|
|
In |
|
-Зх+2)- |
|
УЗl arctg |
|
у |
|
|
|
+с. |
|
|
110. |
|
|
|
х2 |
-х + |
|
|
dx. |
|||||||||||||||
|
|
(5х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отв. |
З |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2х-1 |
+с. |
111. |
|
|
7х+ 1 |
|
|
|
Отв. |
|||||||||||||||||||
2 |
|
In(x -x+l)+ уз arctg уз |
|
|
бх2 |
+х-l dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
In12x+ll+C. 112. |
|
|
2x |
-l |
|
|
|
Отв. |
|
1 |
In(5x -x+2)- |
||||||||||||||||||||
3 |
tnl3x-l l+ 2 |
|
|
Sx2 |
-x+ 2 dx. |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56x4-5r'+4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
tox-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
2 |
|
+ |
|||||||||||||
- |
..г- arctg~+c. |
|
113. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
+ |
1 |
|
dx. |
|
|
|
Отв. |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
х3-- |
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
1' 39 |
|
|
|
1' |
39 |
|
l |
|
|
4x-l |
|
х |
-х |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
12х |
2 |
-х+ |
11+ |
|
|
|
|
|
|
|
114. |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
1ns |
|
• |
||||||||||||||
+ - ln |
|
|
,r- arctg "г- +с. |
2 |
|
2 |
|
|
1n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1' |
7 |
1' |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
cos |
х |
|
|
s |
|
xcosx |
|
s |
|
|
|
х |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отв.
2 у
7
arctg
2tg x+l
у 7
+с.
Интегралы |
ви,в:а |
f |
у |
|
|
J |
|
S |
dx |
|
1.15. |
.r |
2-Зх-4х |
2 |
|
1' |
||
|
|
Ах+В |
dx1 |
а.х•+ьх+с |
|
l |
arcsln |
. Отв. - |
|
2 |
|
8х+З |
|
"г- |
|
1' |
41 |
+с.
116.
s |
dx |
-=r;:::;::===;:~• |
|
У i+x+x |
|
|
1 |
Отв. |
lnlx+2 |
+vx |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
+ |
"r |
1 1 |
|
1' |
2aS+s |
+с. |
|
+x+1l+c. |
117. |
r"r |
|
dS |
||||
|
s |
|
dx |
J" |
2as+s:1 |
|||
|
|
|
|
|||||
118. |
..r |
5-7х-3х |
2 |
. |
Отв. |
|||
|
1' |
|
|
|
||||
• |
Отв. |
ln/s+a+ |
|||
|
1 |
6х+7 |
С |
. |
|
..г- arcsln "г-+ |
|
||||
1' |
3 |
1' |
109 |
|
|
119. |
S |
|
dx |
|
|
Отв. |
|
п lnl6x+s+fl2x(Зx+5)/+c. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
У х(Зх+5) • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
120. |
S |
|
dx |
|
|
Отв. |
|
|
2х+з |
|
|
|
121. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
• |
|||
-::,::;;===:===-. |
arcsln "r- +с. |
|
|
|
|
|
..r |
5х2-х-1 |
||||||||||||||||||
|
|
У 2-Зх-х1 |
|
'="'="""=""'__"..,..,17 |
|
|
|
|
r "r |
1' |
|
|
||||||||||||||
Отв. |
..;- |
ln/ 10x-l+f20(5x -x-l)l+c. |
122. |
2 |
~х+ь |
|
dx. |
|||||||||||||||||||
|
|
" 5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
J |
|
" |
ах |
|
+ьх+с |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
Отв. |
2 у а.х |
|
+ьх+с |
+с. |
123. |
|
(х+З) dx |
|
• |
|
Отв. |
|
|
|
|
|
|
|
+4х+з+ |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
у 4х |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
у 4х2+4х+з |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
|
Inl2x+l+V4x |
|
|
|
|
(х-З)dх |
|
|
|
• |
Отв. |
||||||||||||||
4 |
2 |
+4x+з/+c. |
|
124. |
|
S |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
s.r(х+З) dx |
|
|
У з+66.х- 11х |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
- |
1 |
УЗ+66х-11х2 |
+С. |
125. |
|
• |
Отв. |
- |
|
1 |
уз~+-4-х-~4х....,..:1+ |
|||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
1' |
|
з+4х-4х |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
2х-1 |
|
|
126. |
s |
зх+5 |
|
dx. |
|
Отв. |
3 |
|
"r-2 |
- |
|
||||||||||
+тarcsln-2-+c. |
|
|
Jtx( x-l) |
|
|
2 |
|
1' 2х |
-х+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+
|
:; |
_ |
ln/4x-1+ Jt8(2x -x} l+c. |
|
4 |
|
|
2 |
|
1' |
2 |
|
|
|
|
11. |
Интегрирование по частям: |
|
|
|
127. |
Jxex dx. Отв. ех(x- l)+C. |
128. |
|
Sxlnxdx.
Отв.
~
х2
(
lnx
-
~
)+с.
129. 131.
~ xsinxdx. Отв. |
slnx-xcosx+C. |
130. |
~ lnxdx. |
Отв. |
||
~ arcslnxdx, |
Отв. |
xarcslnx+Yl-x |
+C. |
132, |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
x(lnx-l)+C. sln(l-x)dx.
УПР.А)RНЕНИ51
1{
ГЛАВЕ
Х
353
|
Интегрирование |
иррациональных |
функций: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
,. |
|
v- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: [Vx3-In ( tГхз+ 1)]+с. |
|||||||
|
170. |
|
|
i -v-х |
|
dx. |
|
|
Отв. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
rvxi- |
J |
|
х3+1 |
|
|
|
v- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v-;+• |
||||||
|
|
:rx |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
12/13 |
|
|
|
|
||||||||||||
171, |
|
J |
|
6 t,r; |
|
|
dx. Отв. 27 |
х"- 13 |
|
ух |
+С. |
172. |
1 - |
v-dx· |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
х5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х7+ |
|
Отв. |
|
|
6 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
(12/- |
) |
+с. |
|
|
||||||
|
|
-v- |
+~+2lnx-24ln |
v |
х+1· |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
х |
|
|
v х |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
173. |
|
|
v- |
зr |
|
dx. Отв. |
|
6 |
|
|
х. |
- |
|
3 |
у xQ+4 r х-6 v х+ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2+v х |
|
|
|
|
|
|
|
|
v-; |
|
|
-'¼Г"i |
"г- |
J/- |
|||||||
|
|
|
|
х+ |
|
|
|
х+У x+I |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
v- |
|
|
||||||
|
V |
|
|
|
|
(3/- |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+6 |
|
|
- |
|
(6/ |
- |
) |
+ |
3 |
|
|
|
|
+Зarctg |
|
|
||||||||||
|
|
|
x-91n |
|
у |
|
x+i |
|
2 |
In jt |
х+1 |
|
х+с |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174.
175,
176.
r -. / |
1 |
+х d:, • |
J Jf |
1 |
х х |
|
S |
|
-. /"l-x dx |
Отв. |
у l+xx· |
|
v;+V; |
|
5Vх8+ ~ tµ. |
|
Отв. |
|
|
ln 1~r=x+ |
~l+x |
I yi=xi +с. |
||||
|
|
|
|
1-х- |
|
I+x |
|
х |
|
2arctg |
-. /"'i"=x |
\ Yr::F'x- 'Jl1=x |
1 |
||||||
у J+x+In |
YI+x+YI-x |
+с. |
|||||||
Отв. |
14 |
[14r |
I v- |
, |
14г; |
1 v2 |
|||
у х-2 |
х |
+зу x~--:r |
х + |
||||||
+ 4-
~~]+с. 177. |
SJf2x+з; |
|
у х |
-~ x-2 l+c. |
|
2 |
|
|
dx.
Отв.
узх2-
7х-6+
2 |
~ |
|
3
ln
iх-
~
+
12
Н.
С.
Пискунов,
т.
1
§
IJ
НИЖИ.Я.Я
И
ВЕРХНЯ.Я
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
СУММЫ
357
Сумму
~п
называют
нижней
интегральной
суммой,
а
сумму
sn
- верхней интегралыюй суммой.
Если f (х) ~ 6, то нижняя инте,
ральная
сумма
численно
рав
няется площади |
«вписащюй |
ступенча-rой |
фигуры» |
AC0N1C1 N2 |
. . • Cn_ 1NпВА, |
ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя |
|||
тегральная сумма численно |
равняется |
площади |
«описанной |
|
••• ин сту
пенчатой
фигуры»
АК0С1К1
•••
Сп-1Кп-1СпВА.
ограниченной
«описанной»
ломаной.
Оrметим
некоторые
свойства
верх
них
и
нижних
интегральных
сумм.
|
а) |
Так |
|
i |
(i = |
l, |
2, |
формул |
( l) |
||
как mi ~ Mi |
для |
любоrо |
..• , п). то на |
основании |
|
и (2) имеем |
|
|
|
|
(3) |
(Знак равенства будет |
ТQJ1ЬКО |
в |
|||||
чае, если |
f (х) |
= const.) |
|
т2 |
~ |
т.,. |
|
б) Так |
как |
т1 |
~ т. |
|
|||
значение f (х) |
на |
[а, Ь], |
то |
|
|
||
слу- ·: ..•
тп
~
т.
Рис. |
212. |
где т - |
наименьurее |
~п
=
m1
Лх1
+mzЛx:
+
...
+
тпЛхп ~ тЛх1 |
+ |
= m(Лх1+Лх2 |
+ |
т Лх2 |
+... +тЛхп= |
|
... +Лх |
~=m(Ь-а). |
|
|
11 |
|
Итак,
!п ~т(Ь-а}.
(4)
в) Так как
шее значение f
М1 (х)
~М. на [а,
М2
Ь].
~М то
•... |
• |
Мп~М,
где
М-наиболь
S,.
=
М
1
Лх
1
+
М
2
Лх
2
+
,
..
+ МпЛхп ~МЛх1+ МЛх2+ ... |
+МЛхп= |
|
=М (Лх1+Лх2+ ... |
+Лхп) =М (Ь-а). |
|
Итак,
sп~М
(Ь-а).
(5)
Соединяя
вместе полученные неравенства, имеем
т(Ь-а) ~~п ~sп ~ М (Ь-а).
(6)
Ес.11и
f
(х)
~
О,
то
последнее
неравенство
имеет простой
гео
метрический смысл (рис. М (Ь - а) соответственно
212), так численно
как равны
произведения т (Ь - а) и площадям «вписанного»
прямоугольника
AL
1
L
2
B
и
«описанного»
прямоугольника
Al
1 |
[ |
|
2
B.
358
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ,
XI
§
2.
Определенный интеграл. |
Теорема о |
определенного |
интеграла |
существовании
Продолжим
рассмотрение
вопроса
предыдущего
параграфа.
В каждом из отрезков [х0 точке, которые обозначим
,
х |
1 |
s1, |
|
],
s
1 |
, х |
2 |
|
[х |
|
|
|
2, |
.•• , |
||
], • Sn
,
. , [хп-t• хп] |
|
(рис. 213): |
х |
возьмем 0 < s1<
по Х1,
ll
y=/{.r)
'11
Рис.
213.
Xt <
лим
S2 < Х2, • • • • |
Хп-1 < Sn < Хп. |
В |
каждой |
из |
этих точек |
вычис |
|||||
значение |
функции / (s1), |
/ |
(s2), |
• • •t / |
(sп)• |
Составим |
сумму |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
sп= f (s1) |
Лх1 |
+ f (sJ Лх2+ |
~ |
•• + |
|
f {sп) Лхп= |
|
~ f (sд Лх1, |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=I |
|
|
Эrа сумма отрезке [а,
называется интегральной суммой Ь]. Так как при произвольном
для Si,
функции f (х) на принадлежащем
отрезку
[x1-1t
Х1],
будет
mj
~
f
(s;)
~
М;
И
все
Лх1
>
о,
то
т |
1 |
|
следовательно,
Лх
1
~
f
(si)
Лх1
~
М
1
Лхi,
или
(2)
Геометрический смысл последнего неравенства
в том, что фигура, площадь которой равна sn,
при f (х) ~ О состоит
ограничена ломаной,
заключенной
между
«вписанной»
ломаной
и
«описанной»
ломаной.
Сумма sn зависит от способа разделения отрезка [а, Ь] на отрезк1;1 |
|||
[х,_ |
1 |
, xi] и от выбора точек Si внутри получающихся отрезков. |
|
Обозначим теперь через max [xi-i• xil наибольшую из длин |
от |
||
резков [х.,, х1], [хн
ния отрезка [а, Ь]
х2 на
], ••• , [хп-~• хп]• |
Рассмотрим |
отрезки [xi-i• х1 |
] такие, что |
различные разбие
max[xi-I• xtJ-0.
Очевидно,
что
при
этом
число
отрезков
п
в
разбиении
стремится
к бесконечности. Для каждого |
|||
значения |
s, |
можно |
составить |
|
1 |
|
|
разбиения, выбрав соответствующие
интегральную сумму
п
Sп
=
~
f
(s,)
Лх1,
(3)
i=l
§2)
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
359
Рассмотрим |
некоторую |
последовательность |
|||
торых max Лх1 |
-,. О, |
при |
этом п-,. |
оо. |
При |
выбираем значения |
;i. Предположим |
, что эта |
|||
разбиений, при ко каждом разбиении последовательность
интегральных
сумм *) lim
s; стремится |
к |
некоторому |
пределу |
||
|
|||||
s;; = |
|
|
п |
= s. |
|
lim |
|
~ f (;;) Лх1 |
|||
(4)
maxлxl-+O
maxлxi-+Oi=I
Теперь |
мы можем |
сформулировать |
следующее |
|
Оп редел е ни е |
1. Если при любых |
разбиениях |
||
таких, что |
max Лхi-,. О, и при любом выборе rочек |
|||
отрезка ;; на
[а, Ь1 отрез
ках
[xi-t•
Х;]
интегральная сумма
стремится к одному
вают определенным
|
Sn = |
п |
|
~ |
|
|
|
'=' |
и |
тому |
же |
интегралом |
||
f (;д Лх1 |
|
|
пределу |
s, |
то |
от функции f |
||
|
|
(5) |
этот |
предел |
назы |
(х) на |
отрезке [а,. Ь] |
|
и |
обозначают |
Таким |
образом, |
по
ь |
|
~ |
f (х)dx. |
а |
|
определению |
|
lim max дхi
~
О
,
f =1
f
(;i)
Лх1
=
ь ~
а
f
(х)
dx.
(6)
Число делом
а называется нижним пределом интеграла, Ь - верхним пре интеграла. Отрезок [а, bJ называется отрезком интегриро
вания, Оп
|
|
. |
х-переменной интегрирования |
||
редел е н и е 2. |
Если для |
функции |
f
(х)
предел
(6)
суще
ствует, то функцию называют |
интегрируемой |
||
|
сумма |
||
Заметим, что нижняя |
интегральная |
||
на !пи
отрезке верхняя
[а, Ь]. интег-
ральная мы (5),
сумма sn являются
поэтому если f (х)
частными случаями |
интегральной |
сум |
||||
|
||||||
интегрируема, |
то |
нижняя |
и |
вер~няя |
||
|
|
|
||||
интегральные
суммы
стремятся
к
тому
же
пределу
s,
и
потому
на
основании
равенства
(6)
можем
написать
lim |
-+ |
max лх1 |
,lim |
-+ |
|
max лх |
1 |
|
|
||
О
О
f |
т;Лх |
|
l = 1 |
|
|
fм |
Лх |
|
, = 1 |
1 |
|
|
|
|
1 1
= =
ь ~
а
ь ~
;
f (x)dxt
f(x)dx.
(7)
(7')
*)
В
данном
случае
сумма
является
упорядоченной
переменной
величиной.
