Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

.pdf

Скачиваний:

8616

Добавлен:

10.09.2019

Размер:

31.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

§ 7]

ПРОСТЕЙШИЕ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ

ДРОБИ

ИХ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

331

Пqдставляя

это

выражение

равенство

(1).

получим

[ k =

(t2+т2)k

[

]

=""т2

.(t2+т2)1t-1+m22(k-l)

(t2+т2)k-l-

(t2+т2)k-l

= 2т2

2k-3

(k-1)

{t2+m2)k-1

+2т2

(k-1)

(t2+m2)k-1

•

В	правой
показатель

части содержится	интеграл того же
степени знаменателя подынтегральной

типа, что функции

/ k• но на еди

ницу

ниже

1);

таким

образом,

мы

выразили

через

k-i

•

Продолжая

идти

/ 1

тем же

путем,

дойдем до известного

=	S	dt	1	t
=	12	+та= т arc tg т +С.
	12

интеграла:

Подставляя затем	всюду вместо	t
ражение интеграла	IV через х	и

и т их	значения,
заданные	числа А,

получим В, р, q.

вы

Пр

мер

S (x

х-1
+2x+;:i)	2

f
	_!__(2x+2)+(-l
dx=	2	(х	+2х+З)J
1 s		2
1 s		2х+2			dx
=2	(x	+2x+3)		2	dx
	2			2

-l)
-	2

dx=
s	dx
(х2	+2х+З)

1 =-2

1 +2х+з

после)J.нему

интегралу

применяем

подстановку

х+

(произволыюй постоянной
ном	результате).
	Следовательно,

пока

не

пишем:

мы

учтем

ее

только

окончатель

Окончательно

будем

иметь

S	х-1	2
(х2	+2х+3)	2	dx=-

(х

х+2 +2х+З)

у2
-	4	-

arctg

x+I
у	2

+с.

10)

ИНТЕГРАЛЫ

,ОТ

-ЙРРАЦИОНАЛЬНЫ-Х

ФУНIЩИЙ

337

Реше н и е. PaзJiaraeм дробь на					простейшие:
х	+4х3+11х	2	+12х+в		Ах+в
1			(х+1)	-(х2	+2х+З)2	+
	(х2+2х+З)2

откуда

Cx+D
2	+2х+з+

Е х+

х•+4хз+

11х	+ 12х+В=
2
=(Ах+В) (х+

l)+(Cx+D}

(х2

+2х+З)

(х+

l)+Е(х

+2х+З)

•

Комбинируя

указанные

выше

методы

определения

коэффициентов,

находим

А=1,

В=-1,

С=О,

D=O,

Е=1.

Таким образом,	получаем
S	2	+12х+в
х•+4х3+11х
(ха+2х+З2)(х+1)

dx=

5 (х

х-1 +2х-+З)

dx+

s dx х+

х+2
(х2+	2	х+з)

У2	arctg
4

-i+t y2

+1nlx+Ц+C.

Первый	интеграл,
интеграл	берется

стоящий справа, непосредственно.

был

рассмотрен

примере

Второй

Из всего изложенного на.льной функции может

следует, что быть выражен

интеграл от любой через элементарные

рацио функ

ции	в
	1)
2)

конечном виде, а		именно:
через	логарифмы -	в	с.11у.ча~	простейших
через	рациональные		функции -		в случае

дробей I типа;

простейших дробей

11	типа;
	3) через	логарифмы	и арктангенсы-в
бей	111 типа;
	4) через	рациональные		функции	и
простейших		дробей IV	типа.

случае простейших. дро
арктангенсы -в	случае

10.

Интегралы

от

иррациональных функций

Не

от

всякой

иррациональной

функции

интеграл

выражается

через

элементарные

функции.

В этом

следующем

параграфах

мы

рассмотрим

те

иррациональные

функции,

интегралы

от

которых

помощ1:ю

подстановок

приводятся

интегралам

от

рациональных

функций и, следовательно,	до
1. Рассмотрим интеграл	~

конца интегрируются.

R (х, xmfn, ••• , xrfs) dx,

rде

R-

ра

циональная

функция

своих

аргументов

*).

•)

За_nнсь,

(х,

xmfn,

••.

5	)

укаэывает,

что

на.д

величинами,

х,

xmfn,,

••

••• ,	x'fs	производятся только р-ациональные операции.
R ( х, ( :t: )т/п, ... ) , R (х, у ах							+ьх+с), R (sinx, cosx)
	Точно	так	же	следует	понимать в дальнейшем
						2

заппси	вида
ит. д.	Так, на

пример,

запись

(sin

х,

cos

х)

указывает,

что

над

sin

cos

производятся

рациональные

оnерации.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫА

ИНfЕГРАЛ

(ГЛ.

Отсюда

определяется

как

рациональная

функция

от

Так через t,

как то,

	Х=2Усt-Ь
	a-t
	2
dx	и Vax'+bx+c тоже	выражаются
подставляя значениях, Vax'+bx+c и

рационально dx в интеграл

(х,

ах

+Ьх

+c)dx,

мы

сведем

его

интегралу

от рацио

нальной

функции

от

Пр

мер

Требуется

вычислить

интеграл

r(l-Yl+x+x2)•
J	х	2	у1+х+х	2

dx.

Решение.

Полагаем У l+x+x

=xt+l; тоrда

ztz+n..

21-1

-21+2

=J(

=I+

Х=

(-/2

((-/2)2

d,I

;

"r.,....,..--,--:: r l+x+x'=xt+l

-t+
_	12
1

;

~ -- ~ 1-У l+x+x•

- .

2t	2	+t	•
_		,	•
1		1

Подставляя

полученные

выражения

исходный

интеграл,

находим

(1-У t+x+x2) x2Yl+x+x'

=2 sI ta

dx=S	(-2t	2	+t)		2	(1-t )			2	(1		-t ) (2t		-2t+2)
							2					2	2
	(l-t )			2	(2t		-1)	2	(t		-t+l)(l-/2)2
			2							2
dt=-2t+ln			\	~+:\+с=

dt- -

=-2(r1+x+x			2	-1)+1nl			x+v-,+-x_+_x~- l			/+c=
			2					2	+1
	х	,-,-.,.--,--::						2
	х	,-,-.,.--,--::					х-У1+х+х
	2			1			1	>+1п J2x+2 v1+x+x
=-		<У			2	-						+1
=-		<У			+~+х	-					2	+1
											2

/+с.

3. корни

Третья	подстановка Эйлера. Пусть				сх и
трехчлена		ах	2	+Ьх+с. Полагаем
			2
				Vах'.+Ьх+с= (х-сх) t.

-действительные

Так

каках

+Ьх+с=

(х-сх)(х-(3),

то

(х-а)(х-(3)=(х-а)

а х

(х-а) (х-(3) = (х-а)а t2, а (х-(3)

как рациональную функцию от t:

(х-сх)

2	•

Отсюда

находим

Х=

a~-at a-t2

Так

как

ах

Ьх

тоже

рационально

зависят

от

то

данный

интеграл

преобразуется

интеграл

от

рациональной

функ

ции	от	t.
	Заме чан
только		при	а

и е

< О,

1. но

Третья и при а


подстановка Эйлера	применима
> О - лишь бы многочлен ах		2	+Ьх

не +с

имел

два

действительных

корня.

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
05.03.20216.51 Mб53Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа (2016).cpio
#
16.06.2020740.95 Кб110Красовская Т. Ф. Операционное исчисление.pdf
#
10.09.201931.63 Mб8616Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.pdf
#
17.06.2020429.79 Кб125Фарфоровская Ю. Б. Математика. Дискретное и быстрое преобразование Фурье.pdf