Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

УПРАЖНЕНИЯ

К:

ГЛАВЕ

IX

313

ный

т. е.

Этим мы доказали, что градиент

по нормали к поверхности уровня,

Пр им ер. Написать

малик поверхности шара

при

X=l,

y=2,z=3

дF имеемах=2,

Следовательно,

урав•

или

Упражнения

к

главе

IX

Наiiти производные от векторов:

1. r=ictgt+Jarctgt.Omв. r'=-

sin~t

i+

l~t

2

J.

2.r=e-li+2tJ+

+lntk.

Отв.

r'=-e-ti+2J+~.

3.

r=tЧ-{+~:

Отв.

r'=

=

j 2u+t2

2k -""73·

нор• r' =

=

i+6J+27k;

касательная:

у-9 = --= 6

z-27 --;z;-

;

норыальная

плоскость:

касательной и

j sln t+k sln

нор• r' =

= -

l 2

i

. sm

t

+

l 2

. J cos

t

+

l 2

k

cos

t 2

;

уравнения

касательной:

l У-- sin 2

cos t

t

t Z-sln- 2

t cos 2

уравнение

нормальной

плоскости:

Х sin

-

У

cos

t-Z

cos

t 2

=х

sin

t-y

cos

t-z

cos

t 2

,

где

х,

у,

z-координаты

нормальная

плоскость

(

т.

е.

х

=

314

ПРИЛОЖЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНСГО ИСЧИСЛЕНИЯ

[ГЛ.

IX

уравнения косинусы

Oms,

У-Уо -- t -

cos -f

=

Z-Z0 -- t -

ctg Т

•

cos

a=sin

2

t Т,

cos

~=

1 2

sin

/

0

,

cos

to у=соsт·

-y2, у=х параметри­

8.

Найти

о,

п,

Ь

в

точке

t=;

для

кривой

r=i(cost+sin

2

f)+

Oms.

а=

(-

. i+J+k),

n=

1

9.

Найти

уравнения

главной

нормали

и

бинормали

к

кривой

/4 Х=т•

't3 У=з

I

Z=

t2 2

В

точке

(хо,

Уо,

Zo)-

Oms.

Z-Zo

Х-Хо - i - =

у-уо - 2to

Z-Zo =~

•

10.

Найти

уравнение

соприкасающейся

плоскости

к

кривой

у

2

=х,

x2=z

уравнениями i cos t+j sin

х2+у2 +

t+k sh t.

и

кручения

для

кривой

r=t

2

i+2t

8j

.

+

14. (a3t2

+

Доказать, Ь3t+сз) k

r=(a r"' ==

+ь2t+c2)j+

равно нулю.

x=et,

У2 (х+у)2

y=e-t.

•

z=t}""2:

t,

y=e-tcos

t;

z=e-t.

17.

Найти

уравнение

касательной

плоскости

к

гиперболоиду

,r,2 а2

у2 -"Ба

-

-

,

z1). Отв. нормали

+2z2

=

6

в

точке

(2,

2, 3). Отв.

19. Найти

плоскости

к

поверхности

z=2x2

+4y2

плоскость,

318

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

(ГЛ.

:Х

гл. 13'

с

помощью

следовательно,

~

tg

х

dx = -

ln

/ cos

х

1+С.

В

случае

формулы (ln

8 1s.ш

х

J)'

=

cos sln

хх

=

с

t

g

х,

1] +а=х

=

а2

1 -х2'

следовательно,

s

формула

будет следовать

также

из

V

x2t±

а2'

Эта

формула

также

будет

сщщовать

из

общих

результатов

§

10.

§

З]

НЕКОТОРЫЕ

СВОЙСТВА

НЕОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

319

эти

что 13

(см.

§

4,

примеры

3

и

4).

§

3.

Некоторые

свойства

неопределенного

интеграла

Теорем а 1. Неопределенный

двух или нескольких функций

интеграл от алгебраической суммы

равен алгебраической сумме их

интегралов:

~[!1

(х)

+

f

2

(х)]

dx=

~

f1

(х)

dx+

~

f

2

(х)

dx.

(1)

Для частей

доказательства этого равенства.

найдем производные от На основании равенства

левой (4) §

и

1

правой находим

о,1

<x>dx+

(~ [f1 (x)+f2 (х)] dx )'= f1 (х)

~'2<х>с1х)' =( ~'1 (Х,с1х)' +Ots

+f2 (х),

<х>с1х)'

=

ti

<x>+t2

(х).

Таким

образом,

производные

от

левой

и

правой

частей

равенства

(l)

равны между собой, т~ стоящая в левой части,

стоящей

в

правой

части

равенства.

Следовательно,

по

теореме§

1

любая

функция,

стоящая

в

левой

части

равенства

(1), отличается

(1), на равен­

2. е.

Постоянный множитель если а= const, то

можно

выносить

за

знак

~

af(x)dx=a

~

f

(x)dx.

(2)

Для

доказательства

равенства

(2)

найдем

производные

от

лемй

и =

правой а(~ f (х)

его dx)'

частей: = af (х)

•

(

Saf

(х)

dx)

•

=

af

(x)r

(

а

~

f

(х)

dx

)'=

мать равенство (2). При вычислении

неопределенных

интегралов бывает

полезно

иметь 1.

в виду Если

следующие правила.

~ f (х)dx = F (х) +С,

Jf(ax)dx=

~

F(ax)+C.

(3)