§ 11. Центрированная оптическая система. Преломление луча сферической поверхностью

Наибольшее распространение в геодезических приборах имеют детали со сферическими преломляющими поверхно­стями. Как правило, они объединены в центрированные опти­ческие системы линз, призм, зеркал и т. п. В оптической цен­трированной системе центры кривизны всех преломляющих и отражающих поверхностей оптических деталей, входящих в си­стему, располагаются на одной прямой, называемой оптиче­ской осью системы.

Простейшей оптической центрированной системой является оптическая система с одной сферической преломляющей по­верхностью. На рис. 23 сферическая поверхность с вершиной О и радиусом г разделяет две оптически прозрачные среды с показателями преломления п и п''. Центр сферы—точка С и оптическая ось—ОС.

В системе с одной сферической поверхностью оптическая ось принимается условно, в такой системе оптических осей мо­жет быть бесчисленное множество.

На расстоянии s от поверхности раздела на оптической оси выберем точку Л (предмет). Из этой точки проведем произ­вольный луч AM (в области параксиального пучка, когда h<^ «€/') до границы раздела двух сред. Изображение предмета после преломления получится в точке А' на расстоянии s' от сферической поверхности. Докажем, что все другие паракси­альные лучи, исходящие из точки А, после преломления на за­данной сферической поверхности соберутся также в точке А' на оптической оси, что расстояние до изображения не зависит от угла падения, а зависит лишь от удаления предмета от сферы и радиуса сферы.

На рис. 23 луч из точки А в точку М идет под малым углом (—о) к оптической оси. Лучи падающий и преломленный об­разуют с нормалью МС (радиусом кривизны сферы) соответ­ственно малые углы падения (—е) и преломления (—е'). Вы­сота точки падения М над оптической осью равна h.

По закону преломления при малых углах имеем

Рис. 23. Преломление луча сферической поверхностью Подставим значения углов, получим

Значения углов (—о), а' и (р определяются из &АМК. и АКМА', когда отрезок ОК->-0-Имеем

С учетом полученных выражений углов уравнение (3.9) по­лучит окончательный вид

Полученное уравнение называется нулевым инвариантом Аббе или формулой Аббе. При заданных величинах п, п' и г каждому значению s соответствует единственное расстояние до изображения s', т. е. все лучи параксиального пучка, исходя­щего из точки А, пересекут оптическую ось в одной точке А', которая является изображением точки А. Точки Л и А'—со­пряженные точки сферической преломляющей поверхности с радиусом г.

Формула (3.10), записанная в несколько ином виде, носит •название основной формулы параксиальной оп­тики;

Формулы (3.10) и (3.11) приближенные, но при очень ма­лых отношениях h/r соответствуют достаточно точно стигмати­ческому изображению.

Формулы (3.10) или (3.11) являются основными в парак­сиальной оптике. Из них вытекают все основные свойства па­раксиальной оптики и получаются другие, важные для расчета формулы.

Если предмет удален в бесконечность (s=—оо), то s'==f'. Подставим эти значения в формулу (3.11), получим уравнение для вычисления заднего фокусного расстояния

Если в бесконечности находится изображение (s'=oo), то s=/, подставляя эти значения в формулу (3.11), найдем перед­нее фокусное расстояние

Найдем отношение фокусных расстояний путем деления уравнения (3.12) на уравнение (3.13)

Определим оптическую силу Ф системы через ее фо­кусное расстояние

Подставляя значение оптической силы (3.15) в основную формулу (3.11), получим выражение

Введем фокусные расстояния из формул (3.12) и (3.13) в выражение (3.18), будем иметь формулу Гаусса (3.19)—

основное уравнение преломления луча

Придадим формуле Гаусса другой вид. Для этого отрезки, определяющие положение предмета и изображения, будем от­считывать не от вершины сферы (точки О), а соответственно от переднего и заднего фокусов (F и F'). На рис. 23 обозначим отрезки —2= ЕЛ и z'=F'A' и фокусные расстояния —f=OF и f'^OF'. В соответствии с принятыми обозначениями имеем

Подставляя значения (3.20) и (3.21) в формулу Гаусса (3.19), получим

После простых преобразований получим формулу Нью­тона

Построим на рис. 23 изображение не точки, а светящегося малого отрезка А'В', т. е. определим величину изображения у' через установленные зависимости и величину предмета у. Из точки В проведем луч нормально к сферической поверхности. Он пересечет разделительную сферу без преломления, и в точке В' получится изображение точки В.

Из подобия треугольников ЛВС и A'B'C' имеем

Формула (3.24) или р=г/7г/ есть линейное (попереч­ное) увеличение системы. Линейное увеличение также можно определить и по другим формулам, приведем их без выводов:

В основной формуле (3.10) приведем выражения в скобках к общим знаменателям, получим

Сравнивая выражения (3.24) и (3.29), имеем

Для параксиального пучка s' и s в формуле (3.30) заменим через выражения

получим, после сокращения на h, инвариант Гюйгенса — Гельмгольца

Произведение пуа инвариантно для пространства предме­тов и пространства изображений любой поверхности центриро­ванной системы.

На рис. 24 изображений первой сферической поверхности является предметом для второй, изображение второй является предметом для третьей и т. д.

Таким образом, центрированная оптическая система обла­дает свойством сохранять гомоцентричность параксиального пучка независимо от числа преломляющих (или отражающих) поверхностей.

В общем виде, согласно рис. 24, можно записать

Сферическая преломляющая поверхность характеризуется также угловым увеличением у, отношением углов о' и о, образованных преломленным и падающим параксиальными лучами с оптической осью,

Чтобы найти зависимость между угловым и линейным уве­личениями, воспользуемся инвариантом Гюйгенса—Гельм­гольца. Уравнение (3.31) запишем в виде

или, с учетом линейного увеличения (3.24), получим

Рис. 24. Вывод уравнения Гюйгенса—Гельмгольца

Произведение углового и линейного увеличений—постоян­ная величина, равная отношению показателей преломлений сред, или угловое увеличение обратно пропорционально линей­ному увеличению и зависит от показателей преломления сред.

Для оптической системы в воздухе или в пустоте имеем

На основе уравнения (3.14) формулу (3.34) можно запи­сать в виде

Соответственные точки предмета и изображения, в кото­рых у=1, называются узловыми. Если п==п', то главная плоскость совпадает с узловой, а главная точка — с узловой точкой.

Продольное увеличение системы определяют по формуле

Продольное увеличение а систем связано с глубиной рез­кого изображения оптической системы вдоль оси.

Линейное увеличение р систем характеризует увеличение предмета в фокальной плоскости, рассматриваемое окуляром.

Наконец, видимое или окулярное увеличение Г есть отношение двух изображений на сетчатке: изображения предмета, рассматриваемого через оптическую систему, к изо­бражению того же предмета, рассматриваемого невооружен­ным глазом. Видимое увеличение можно определить как отно­шение тангенсов углов, под которыми предмет рассматривается через оптическую систему и невооруженным глазом