§ 10. Сферическое зеркало

В качестве оптической детали с отражающей поверхностью в геодезических и астрономических приборах применяют сфе­рическое зеркало (часть шаровой амальгамированной поверхности). На рис. 18 показан ход параксиального луча, падаю­щего в точке M на вогнутое сферическое зеркало. Луч выхо­дит из точки А,, лежащей па главной оптической оси ОС. Точка О является вершиной сферы, точка С —центр сферы, ОС = r — радиус сферы.

Легко убедиться в том, что расстояние до изображения А' от вершины О, равное s', не зависит от угла падения (если луч проходит вблизи главной оптической оси), а зависит только от расстояния s от вершины сферы до предмета А и от ра­диуса сферы г, что точки А и А' — сопряженные точки.

По закону отражения радиус сферы МС является биссек­трисой угла при точке М. По свойству биссектрисы имеем ра­венство отношений

AМ /А'М=АС /А'С.

Учитывая по условию параксиального пучка, что hr, при­нимаем AM=AO=s; A'M=A'0=s'. Отношения перепишутся в виде

или

sr-ss’=ss’-s’r

Разделим равенство на ss'r, получим

Уравнение (3.5) является основным уравнением сфериче­ского зеркала.

Уравнением (3.5) доказано, что расстояние до изображения s' в сферическом зеркале не зависит от угла падения е и от углов ф и о, а зависит только от радиуса сферы г и расстоя­ния до предмета s. Вывод справедлив лишь для пучка лучей, идущего вблизи главной оптической оси.

Все другие лучи, выходящие из точки А под тем же усло­вием, также соберутся в точке А', которая является ее изобра­жением в сферическом зеркале. Точки Л и А'—сопряженные точки.

Пользуясь уравнением (3.5), удалим точку Л в бесконеч­ность (s=oo), тогда изображение точки Л будет в фокусе зер­кала. Из уравнения (3.5) получим формулу оптической силы сферического зеркала, помещенного в воздухе или пустоте,

откуда фокусное расстояние (см. рис. 18)

С учетом (3.7) уравнение (3.5) обращается в известную основную формулу геометрической оптики

формулы (3.5), (3.6), (3.7) и (3.8) с изменением знака яв­ляются общими и для сферического выпуклого зеркала.

Приведем некоторые правила по построению изображений в сферическом зеркале и примеры к ним.

Точка (предмет) на главной оптической оси

1. Из точки проводится произвольный луч до зеркальной поверхности.

2. Через фокус проводится вспомогательный луч, парал­лельный данному, и его отраженный луч до пересечения с фо­кальной плоскостью.

3. Изображение получится на главной оси .на продолжении линии, соединяющей точки: пересечение основного луча с зер­кальной поверхностью и пересечение отраженного вспомога­тельного луча с фокальной плоскостью.

Точка (предмет) вне главной оптической оси

1. Из точки проводится луч, параллельный главной оси, его отраженный луч пройдет через фокус.

2. Через точку из центра сферы проводится побочная ось.

3. Изображение получится вне главной оси на пересечении побочной оси с отражением основного луча.

На рис. 19—22 показаны ход лучей и построение изобра­жений в сферических зеркалах '(вогнутом и выпуклом). На рис. 19, а и 20, а предмет расположен между фокусом и вер­шиной зеркала (Q-€s<f). Изображение будет мнимое, прямое, увеличенное и расположено за зеркалом (0>—s'>—оо). На рис. 19, б и 20, б предмет находится между фокусом и центром (f-ss.s<2f=r). Изображение действительное, обратное, увели­ченное, за центром (oo>s':>2/). На рис. 19, в и 20, в предмет за двойным фокусным расстоянием (2/-s;s<oo). Изображение действительное обратное, уменьшенное и расположено между центром и фокусом.

Рис. 19. Построение изображения Рис. 20. Построение изображения точки, расположенной на оптиче- точки, расположенной вне оптиче- ской оси, в вогнутом сферическом ской оси, в вогнутом сферическом зеркале зеркале

Рис. 21. Построение изображения Рис. 22. Построение изображения точки, расположенной на оптической точки, расположенной вне опти-оси, в выпуклом сферическом зеркале ческой оси, в выпуклом сфериче­ском зеркале

Изображение в выпуклом зеркале (рис. 21 и 22) всегда бу­дет мнимое, прямое, уменьшенное и расположено между фоку­сом и вершиной.

Для контроля построения изображения, когда предмет на­ходится вне главной оптической оси, могут быть использованы и другие лучи, например, лучи, идущие через главный фокус и через вершину сферы.

Примером применения сферических зеркал в геодезических приборах является зеркально-линзовая труба Д. Д. Максутова и др.

Знания о построении изображений в плоских и сферических зеркалах позволяют построить изображения в цилиндрических и конических зеркалах, где по одному сечению будет плоское зеркало, а по второму — сферическое.